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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale ES}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 1995}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Terminale ES
 Nouvelle-Calédonie novembre 1995~\decofourright }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Le niveau sonore $d(I)$, en décibels (db), d'un son d'intensité $I$ est 
donné par la formule : 

$d(I) = \dfrac{10}{\ln 10}\left(\ln I - \ln I_{0}\right)$, où $I_{0}$ est l'intensité du seuil d'audibilité de l'oreille humaine. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une voix humaine produit un son dont l'intensité $I$ est égale à $10^6 I_{0}$.
 
Calculer le niveau sonore $d(I)$, en décibels, atteint par cette voix humaine. 
\item Calculer $\dfrac{I_{1}}{I_{0}},\:\dfrac{I_{2}}{I_{0}}$ puis $\dfrac{I_{2}}{I_{1}}$ lorsque : 

$I_{1}$ correspond à un niveau sonore de 90 db (au-delà de ce niveau, on considère qu'il y a danger et risque de surdité).
 
$I_{2}$ correspond à un niveau sonore de 120 db (c'est le niveau sonore atteint par un concert des \og Who \fg{} en 1976). 
\item Dans cette question, $I_{1}$ et $I_{2}$ désignent des intensités quelconques ; on suppose $I_{1} \leqslant I_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $d\left(I_{2}\right) - d\left(I_{1}\right) = \dfrac{10}{\ln 10} \left(\ln I_{2} - \ln I_{1}\right)$. 
		\item Calculer cette différence $d\left(I_{2}\right) - d\left(I_{1}\right)$, arrondie au dixième le plus proche, lorsque $I_{2} = 2 I_{1}$. 
		\item Déterminer $\dfrac{I_{2}}{I_{1}}$  lorsque $d\left(I_{2}\right) - d\left(I_{1}\right) = 15$, puis justifier l'affirmation suivante : 
		
\og 115 décibels, c'est environ 32 fois plus fort que 100 décibels \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Au secrétariat d'un lycée, chaque élève a un dossier scolaire. Tous ces dossiers
sont regroupés  dans une m\^eme armoire. On a les données suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 20\,\% des élèves de ce lycée sont internes, 50\,\% sont demi-pensionnaires et 30\,\% sont externes;
\item 60\,\% des internes sont des garçons ;
\item 50\,\% des demi-pensionnaires sont des filles ;
\item 10\,\% des externes sont des garçons.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On extrait au hasard un dossier d'élève de l'armoire. Quelle est la
probabilité d'obtenir le dossier :
	\begin{enumerate}
		\item d'une fille interne ? 
		\item d'une fille ? 
		\item d'un garçon ?
		\item d'un demi-pensionnaire sachant que c'est le dossier d'une fille 
?
	\end{enumerate}
\item Soit $A$ l'évènement \og le dossier extrait est celui d'un garçon externe \fg. 

Montrer que la probabilité de $A$ est égale à 0,03.
\item On extrait au hasard un dossier de l'armoire, on regarde ce que l'on
obtient, puis on le replace dans l'armoire. On répète cinq fois cette expérience. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir ainsi, les dossiers de cinq garçons externes ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir ainsi, les dossiers de cinq garçons  externes ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
On a rangé en vrac dans une boîte neuf cartes postales indiscernables au toucher. Cinq de ces cartes proviennent de France, une provient d'Australie et trois des États-Unis.

\medskip
 
\textbf{Partie A -} On tire simultanément et au hasard 3 cartes de la boîte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de n'obtenir aucune carte de 
France parmi les 3 cartes tirées est égale à $\dfrac{1}{21}$. 
\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item[ ] E1 : \og Lors d'un tirage, obtenir une carte de chaque pays \fg. 
\item[ ] E2 : \og Lors d'un tirage, obtenir au moins une carte de France \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage de 3 cartes de la boîte, le nombre de cartes de France obtenues. 

Déterminer la loi de probabilité de $X$. Les différentes probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles et le résultats seront rassemblés dans un tableau.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B -}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On répète ce tirage cinq fois de suite en remettant à chaque fois les 3 cartes tirées dans la boîte.
 
Quelle est la probabilité de l'évènement : \og lors de ces cinq tirages, deux fois et deux fois seulement, on n'obtient aucune carte de France \fg. 

Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat. 
\item On répète ce tirage $n$ fois de suite en remettant à chaque foi les 3 cartes tirées dans la boîte.
 
À partir de quelle valeur de $n$, la probabilité d'obtenir au moins un tirage sans carte de France est-elle supérieure ou égale à $0,95$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points} 

\medskip
 
La fonction $f$ est une fonction numérique définie sur l'intervalle 
$]- 1~;~+ \infty[$.
 
On sait qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : 

\[\text{pour tout }\:x > -1,\:f(x) = 2 + \dfrac{a}{(x+1)} + \dfrac{b}{(x + 1)^2 },\]

de plus, le tableau de variation de $f$ est donné ci-dessous (où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$) :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(1,0)(1,3)\psline[doubleline=true](2,0)(2,2.5)
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](2,2.5){$- 1$} \uput[u](5,2.5){$1$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+}\psline(5,2)(5,2.5)
\rput(6.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](2.5,0){$- \infty$}\rput(5,1.5){$\frac{9}{4}$}
\uput[u](7.5,0){2} 
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. 
		\item En utilisant les données du tableau de variation de $f$ et la question a., déterminer les réels $a$ et $b$.
		
\medskip
 
On trouve donc : pour tout $x > - 1$, 

\[f(x) = 2 + \dfrac{1}{(x+1)} + \dfrac{1}{(x + 1)^2 }.\]
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une seule solution $\alpha$ et que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[- 0,5~;~0]$. Donner une valeur 
approchée décimale de $\alpha$ à $10^{-1}$ près par défaut.
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).
 
Soit $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère. Déduire du tableau de variation de $f$ que $(C)$ possède deux asymptotes $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ dont on donnera une équation. Construire $(C)$, $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f(x)$ sur $]- 1~;~+ \infty[$ en utilisant le tableau de variation. 
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $]- 1~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan située entre la courbé $(C)$, l'axe des abscisses du repère et les droites d' équations $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\left]- \frac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ par $g(x) = \ln (f(x))$. En utilisant les fonctions composées, déduire les variations de $g$ de celles de $f$. 
\end{enumerate} 
\end{document}