\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-3dplot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Nouvelle-Calédonie}
\rfoot{\small novembre 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 1998~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Au cours d'une kermesse, l'animateur d'un stand dispose, dans un 
enclos, de douze cages peintes : sept sont blanches, deux noires et 
les trois autres vertes. L'animateur place alors une souris dans 
l'enclos. On suppose qu'à chaque jeu, la souris choisit d'entrer au 
hasard dans une cage et que tous les choix sont équiprobables.
 
Un joueur participe au jeu. Le règlement du jeu est le suivant :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item si la souris entre dans une cage blanche, le joueur perd ; 
\item si la souris entre dans une cage noire, le joueur gagne ;
\item si la souris entre dans une cage verte, l'animateur remet la souris 
dans l'enclos ; si la souris entre alors dans une cage noire, le 
joueur gagne, sinon il perd.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que le choix de la deuxième cage est indépendant du choix de la
première.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité de 
l'évènement \og le joueur gagne \fg{} est	$\dfrac{5}{24}$
\item Un joueur possède 10 F qu'il verse pour participer à une partie. 

S'il gagne, il reçoit $k$ francs ; 

sinon, il ne reçoit rien. 

Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur la somme que possède le joueur après la partie. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable 
aléatoire $X$.
		\item Calculer, en fonction de $k$, l'espérance mathématique E($X$) de la 
variable aléatoire $X$.
		\item Quelle valeur faut-il donner à $k$ pour que le jeu soit équitable 
(c'est-à-dire pour que ce joueur puisse espérer posséder 10 F à la 
fin de la partie) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une lessive est vendue habituellement, dans les magasins A et B, par 
barils de 5~kg, au prix de 65~F le baril. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On suppose que cette lessive 
est en promotion dans ces deux magasins :
	\begin{enumerate} 
		\item Dans le magasin A, on fait une réduction de $10$\,\% sur le prix du baril. 
Dans le magasin B, on offre $10$\,\% de produit gratuit en plus pour 
l'achat d'un baril.
 
Déterminer dans lequel des deux magasins il est le plus avantageux 
d'acheter cette lessive.
		\item Répondre à la même question si, dans A, on fait une réduction de 
$20$\,\% et, dans B, on offre $25$\,\% de produit gratuit en plus.
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que, 
dans le magasin A, on fait une réduction de $x$\,\% du prix du baril et 
que, dans le magasin B, on offre $y\,\%$ de produit gratuit en plus pour 
l'achat d'un baril. 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle relation doivent vérifier $x$ et $y$ pour que les promotions 
soient les mêmes dans les deux magasins ?
 
Dans ces conditions, déterminer $x$ lorsque $y$ = 25.
		\item Dans cette question, $x = 10$. Quel pourcentage minimum, en nombre 
entier, de produit gratuit doit offrir le magasin B pour que sa 
promotion soit plus avantageuse que celle de A ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Une observation faite sur la fréquentation d'un stade de football a 
permis de constater, pour chaque année, un taux de réabonnement de 
$80$\,\%, ainsi que l'apparition de \np{4000} nouveaux abonnés.

\textsl{L'objet de cet exercice est l'étude du devenir du nombre annuel des 
abonnés, en supposant que la situation décrite par l'observation reste la 
même au fil des ans.}

\textsl{Les questions}~\textbf{2.} \textsl{et}~ \textbf{3.} \textsl{peuvent être traitées
indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

On note $a_{n}$ le nombre des abonnés à la fin de la $n^{\text{e}}$ année et on précise que $a_{0} = \np{7000}$.
 
\medskip

\begin{enumerate} 
\item Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a 
$a_{n+1} = 0,8 a_{n} + \np{4000}$. 
\item L'objet de cette question est l'étude graphique de la suite ($a_{n}$).

On considère un repère orthonormal (unité graphique : 0,5~cm représente
\np{1000} abonnés).
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer dans ce repère la droite (D) d'équation $y = 0,8x + 
\np{4000}$ et la droite ($\Delta$) d'équation $y = x$, pour les abscisses comprises
entre 0 et \np{25000}.
		\item Placer $a_{0}$ sur l'axe des abscisses. Utiliser les droites 
précédentes pour placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_{1},~ 
a_{2}$ et $a_{3}$.
		\item Si l'on poursuit le processus graphique précédent, quelle limite 
peut-on présumer pour la suite ($a_{n}$) ?
	\end{enumerate}
\item L'objet de cette question est l'étude numérique de la suite ($a_{n}$).\\ 
Soit ($u_{n}$) la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, 
par $u_{n} = \np{20000} - a_{n}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la suite ($u_{n}$) est une suite géométrique, dont on 
précisera la raison et le premier terme. 
		\item Soit $n$ un nombre entier naturel ; exprimer $u_{n}$ en fonction 
de $n$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a 
$a_{n} = \np{20000} - \np{13000} \times 0,8^n$.
		\item En utilisant le résultat précédent, déterminer la 
limite de la suite ($a_{n}$).
		\item Après combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il 
\np{16000} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Les objectifs de ce problème sont, en s'appuyant sur une fonction 
auxiliaire (partie A), l'étude d'une fonction $f$, le tracé de sa 
représentation graphique et le calcul d'une aire associé (partie B).

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie A}

\medskip

$\bigstar~$\textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip

Soit $g$ la fonction numérique définie pour tout $x$ appartenant à 
l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x^2 - 2 + \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier le sens de variations de $g$ (on ne demande pas
d'étudier les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$). 
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique,
notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle [1~;~2].
 
Expliquer pourquoi $\alpha$ est la seule solution de l'équation $g(x) = 0$, 
pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$.

Donner un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-2}$.
\item Étudier le signe de $g(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie B}

\medskip

$\bigstar~$\textbf{Étude d'une fonction \boldmath$f$\unboldmath et calcul d'une
aire}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x + \dfrac{ 1 - \ln x}{x}\]

et on note $f'$ sa dérivée.

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un 
repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.

En déduire le sens de variations de $f$.
 \item 
 	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la droite 
($\Delta$) d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathcal{C}$.
		\item Déterminer le point d'intersection I de $\mathcal{C}$ et ($\Delta$)
et étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite ($\Delta$) et la courbe $\mathcal{C}$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire, en cm$^2$, de la partie comprise sur le graphique entre $\mathcal{C}$, ($\Delta$) et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.

$\left.(\text{On pourra remarquer que \:}\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{1}{x} \times \ln x\right).$
\end{enumerate}
\end{document}