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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie  novembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Unité graphique :
\textbf{4 cm}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points I, J, H, A, B, C, D d'affixes respectives :
\[
z_{\text{I}} = 1\ ,\ z_{\text{J}}= \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{H}} = 1 + \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{A}}=2\ ,\ z_{\text{B}} =
\dfrac{3}{2} +  \mathrm{i}\ ,\ z_{\text{C}} = 2\mathrm{i} \ \mathrm{ et } \ z_{\text{D}} = -1
\]
\item Soit E le symétrique de B par rapport à  H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la  parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.

Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}}= -1
+ \dfrac{1}{2} \mathrm{i}$.

\medskip

\item Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère la transformation $f$ du plan, d'écriture complexe :
 
\[z' =- \mathrm{i} \, \overline{z} + 2  \mathrm{i}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les images des points O, A, B par $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ est une similitude. Est-ce une isométrie ?
		\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$.
		\item La transformation $f$ est-elle une symétrie axiale ?
	\end{enumerate}\item Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{IJ}}$. Donner
  l'écriture complexe de $t$ et celle de sa réciproque $t^{-1}$.
\item On pose $s=f \circ t^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'écriture complexe de $s$ est: $z'= - \mathrm{i} \, \overline{z} + 1 +  \mathrm{i}$.
		\item Montrer que I et J sont invariants par $s$. En déduire la  nature de $s$.
		\item En déduire que $f$ est la composée d'une translation et d'une  symétrie axiale à préciser.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv. Unité graphique :
\textbf{3 cm}

À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$
d'affixe $z'$ par l'application $f$ qui admet pour écriture complexe :

\[z'= \dfrac{(3+4\mathrm{i})z+5 \overline{z}}{6}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_{\text{A}} =  1 + 2\mathrm{i} , z_{\text{B}} = 1$ et $z_C=3\mathrm{i}$.

Déterminer les affixes des points A$'$, B$'$, C$'$ images respectives de
A, B, C par $f$.

Placer les points A, B, C, A$'$, B$'$, C$'$.
\item On pose $z = x+\mathrm{i}y$ (avec $x$ et $y$ réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en
 fonction de $x$ et $y$.
\item Montrer que l'ensemble des points $M$ invariants par $f$ est la
  droite $(D)$ d'équation $y= \dfrac{1}{2}x$.

Tracer $(D)$. Quelle remarque peut-on faire ?
\item Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par
  $f$. Montrer que $M'$ appartient à la droite $(D)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ :
\[\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}} = \dfrac{z+\overline{z}}{6} +
  \mathrm{i}\dfrac{z-\overline{z}}{3}.\]

En déduire que le nombre $\dfrac{z'-z}{z_{\text{A}}}$ est réel.
		\item En déduire que, si $M' \neq M$, les droites (OA) et $(MM')$  sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item Un point quelconque $N$ étant donné, comment construire son
  image $N'$ ? (on étudiera deux cas suivant que $N$ appartient ou non
  à $(D)$).

Effectuer la construction sur la figure.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies, pour tout entier
naturel $n$ non nul, par :
$\left\{
\begin{array}{l}
u_1=1\\
u_n=u_{n-1}+\dfrac{1}{n}\  \text{pour}~ n \geqslant 2
  \end{array} \right.$ et $v_n = u_n - \ln n\ $ pour $\ n \geqslant 1$

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_2, u_3$ et $u_4$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul :
  $\displaystyle u_n= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul :
  $\displaystyle \dfrac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \dfrac{1}{x}
  \mathrm{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$
		\item En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$,  on a les inégalités suivantes :
		
\[ u_n-1 \leqslant \ln n \leqslant u_n- \dfrac{1}{n} \ \  \text{ et } \ \  0 \leqslant v_n \leqslant 1\]

	\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : 
  \[v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{1}{n + 1} - \displaystyle\int_{n}^{n+1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x.\]
		\item En déduire le sens de variations de la suite $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate}  
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ converge. On note $\gamma$ la  limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ (on ne cherchera pas à calculer $\gamma$).

Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

\emph{Cet exercice comporte \textbf{deux parties indépendantes.}}

\emph{La partie} \textbf{I} \emph{est la démonstration d'un résultat de cours. La partie} \textbf{II} \emph{est un Q.C.M.}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\textbf{Question de cours}

Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants. Démontrer
que $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants.

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des
  quatre propositions est exacte.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la
lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse
fausse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse est comptée $0$
point. Si le total de cette partie est négatif, la note
correspondant à la partie \textbf{II} est ramenée à zéro.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges
indiscernables au toucher.

On extrait simultanément trois boules de l'urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires et une boule
rouge ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\boxed{\textbf{A}} \quad \dfrac{75}{512}$&$\boxed{\textbf{B}}\quad  \dfrac{13}{56}$&$\boxed{\textbf{C}}\quad 
\dfrac{15}{64}$&$\boxed{\textbf{D}}\quad  \dfrac{15}{28}$\\
\end{tabularx}

\item Au cours d'une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d'une
  population.

 Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu'une
 personne choisie au hasard dans la population soit grippée est
 $0,25$.

 Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette
 population de contracter la grippe ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\boxed{\textbf{A}} \quad \dfrac{1}{120}$&$\boxed{\textbf{B}}\quad  \dfrac{3}{40}$&$\boxed{\textbf{C}}\quad 
\dfrac{1}{12}$&$\boxed{\textbf{D}}\quad  \dfrac{4}{40}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.
 
Il gagne 10 \euro{} si le dé marque 1. Il gagne 1 \euro{} si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit $X$ la variable
 aléatoire égale au gain du joueur. 

Quelle est la variance de $X$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\boxed{\textbf{A}} \quad 2$&$\boxed{\textbf{B}}\quad  13$&$\boxed{\textbf{C}}\quad 16$&$\boxed{\textbf{D}}\quad  17$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item La durée d'attente $T$, en minutes, à un péage d'autoroute avant
  le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi
  exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{6}$.
On a donc pour tout réel $t >0$ : 
$\displaystyle
P(T < t) = \int_0^t \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d}x$ 

$(\text{ avec } \lambda = \dfrac{1}{6})$

où $t$ désigne le temps exprimé en minutes.

Sachant qu'un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la
probabilité (arrondie à $10^{-4}$ près) que son temps total soit
inférieur à $5$ minutes ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\boxed{\textbf{A}} \quad \np{0,2819}$&$\boxed{\textbf{B}}\quad  \np{0,3935}$&$\boxed{\textbf{C}}\quad \np{0,5654}$&$\boxed{\textbf{D}}\quad  \np{0,6065}$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un lapin désire traverser une route de $4$ mètres de largeur. Un
camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de
$60$~km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que
le camion n'est plus qu'à $7$ mètres de lui. Son démarrage est
foudroyant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite
au maximum de ses possibilités, c'est à dire à \dots~  $30$~km/h !

\medskip

L'avant du camion est représenté par le segment [CC$'$] sur le schéma
ci-dessous.

Le lapin part du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l'angle $\theta =\widehat{\text{BAD}}$ avec $0 \leqslant \theta < \dfrac{\pi}{2}$
(en radians).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,1.6)
\psline(0,0)(10.5,0)
\psline(0,1.6)(10.5,1.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.4,0)(3.9,1.6)
\psline(6.8,0)(6.8,1.6)(8.3,0)
\psline{->}(3.9,0.8)(4.4,0.8)
\psline{<->}(3.9,0.2)(6.8,0.2)
\psline{->}(6.8,1.6)(7.5,0.85)
\psline{<->}(1.1,0)(1.1,1.6)
\uput[l](1.1,0.8){4 m} \uput[u](3.9,1.6){C$'$} \uput[u](6.8,1.6){A}
 \uput[d](3.9,0){C} \uput[d](6.8,0){B} 
 \uput[d](8.3,0){D} \uput[d](7.1,1){$\theta$} 
\uput[u](5.35,0.2){7 m}\rput(2.6,0.8){Camion}
\psarc(6.8,1.6){0.6cm}{-90}{-44.8} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les distances AD et CD en fonction de $\theta$ et
  les temps $t_1$ et $t_2$ mis par le lapin et le camion pour
  parcourir respectivement les distances AD et CD.
\item On pose $f(\theta) = \dfrac{7}{2} + 2 \tan \theta - \dfrac{4}{
    \cos \theta}$.

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si $f(\theta) > 0$.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\emph{Rappel}:

La fonction $x \mapsto \tan x$
est dérivable sur $\left[ 0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$  et a pour dérivée la fonction

$x \mapsto \dfrac{1}{\cos^2 x}$.  
\end{document}