\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2002}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2002~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Pierre se rend à une salle de jeux pour s'adonner à son jeu électronique favori. Chaque partie de ce jeu est un duel entre Pierre et un adversaire virtuel choisi aléatoirement par la machine. La machine choisit comme adversaire soit ATAR soit BLUT, avec la même probabilité $\frac{1}{2}$. La probabilité pour que Pierre soit vainqueur contre ATAR est égale à $\frac{1}{4}$. La probabilité pour que Pierre soit vainqueur contre BLUT est égale à $\frac{2}{5}$. On appelle : $A$ l'évènement : \og Pierre combat ATAR \fg, $B$ l'évènement : \og Pierre combat BLUF \fg, $V$ l'évènement : \og Pierre est vainqueur \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Pierre joue une partie.} \begin{enumerate} \item Calculer $p(A \cap V)$ \item Calculer $p(B \cap V)$. \item En déduire que $p(V) = 0,325$. \end{enumerate} \item \textbf{Étude de la dépense occasionnée si Pierre joue plusieurs parties.} Pierre paie un euro par partie, or il n'a que quatre euros en poche. Il joue une première fois. S'il est vainqueur, il arrête. Sinon il joue une deuxième fois. S'il est vainqueur, il arrête. Sinon il joue une troisième fois. S'il est vainqueur, il arrête. Sinon il joue une quatrième fois. Après cette éventuelle quatrième partie, il doit s'arrêter, quel qu'en soit le résultat. On suppose que les résultats de parties successives sont indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'un arbre pondéré, décrire toutes les situations possibles. \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la dépense de Pierre, en euros. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$. Écrire les résultats avec trois décimales. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c | *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Dépense $x_i$ &1 &2 &3 &4\\ \hline p$\left(X = x_i\right)$ & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Calculer l'espérance mathématique de $X$ que l'on donnera avec deux décimales. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.} \medskip Le tableau suivant donne la population de l'an 2000 en millions d'habitants et le taux d'évolution annuel de cette population dans quelques pays européens. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{| c |*{3}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Pays &France \footnotesize (sans les DOM-TOM)&Royaume-Uni&Russie\\ \hline Taux d'évolution annuel en &0,4 &0,2 &$- 0,5$\\ \hline Population en 2000 (en millions)& 56,6 &59,8 &147\\ \hline \multicolumn{4}{r}{\footnotesize Source : TEF} \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $U_n$ le nombre d'habitants prévu pour l'année $(2000 + n)$ dans un pays donné. On suppose que le taux d'évolution annuel est constant et on le note $t$\,\%. \begin{enumerate} \item Calculer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ et de $t$. \item Préciser la raison de cette suite géométrique $\left(U_n\right)$. \item En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de $t,\: n$ et $U_0$. \end{enumerate} \item \textbf{Prévisions à partir des données du tableau :} On suppose que les taux d'évolution annuels de chaque pays restent constants après l'an 2000 et on note $F_n$, $B_n$ et $R_n$ les populations, en millions d'habitants prévues pour l'année $(2000 + n)$ respectivement en France, au Royaume-Uni et en Russie. \begin{enumerate} \item Calculer $F_n$, $B_n$ et $R_n$ en fonction de $n$ . \item Quelle sera la population de la France en 2010 ? \item À partir de quelle année la population de la Russie sera-t-elle inférieure à 140 millions ? \end{enumerate} \item \textbf{Comparaisons pays par pays.} \begin{enumerate} \item Justifier que $F_{n} \geqslant B_{n}$ si et seulement si $n \geqslant \dfrac{\ln (59,8) - \ln (56,6)}{\ln(1,004) - ln(1,002)}$. \item En déduire l'année à partir de laquelle la population de la France dépassera celle du Royaume-Uni. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.} \medskip Une personne place, le 1\up{er} janvier 2001, sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 4\,\%, une somme de $a$ euros. De plus, chaque 1\up{er} janvier des années suivantes, c'est-à-dire au le 1\up{er} janvier 2002, 1\up{er} janvier 2003, \ldots, etc, elle place sur ce compte la somme de \np{1000}~euros. On pose $U_{0} = a$. Plus généralement, pour tout entier naturel $n$, on appelle $U_{n}$ la somme disponible sur le compte, le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année (2001 + $n$). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = 1,04U_{n} + \np{1000}$. \item Montrer que cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique. \end{enumerate} \item Optimisation du placement sur une durée de quatre ans. On pose $V_{n} = U_{n} + \np{25000}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que la suite $V_{n}$ est géométrique, de raison $1,04$. Préciser son premier terme en fonction de $a$. \item Exprimer $V_{n}$ en fonction de $a$ et $n$. \item En déduire que, pour tout entier $n~:~U_{n} = 1,04^n \times(a + \np{25000}) - \np{25000}$. \end{enumerate} \item Optimisation du placement sur une durée de quatre ans Calculer à $0,01$~euro près le placement initial minimal $a$ permettant de disposer sur ce compte, le 1\up{er} janvier 2005, d'une somme d'au moins \np{15000}~euros. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie, sur $\R$ , par : \[f(x) = \dfrac{10\text{e}^x}{\text{e}^x + 4}.\] On appelle ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij~( unité graphique : 1 cm). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. En écrivant $f(x) = 10 - \dfrac{40}{\text{e}^x + 4}$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. En déduire les équations des asymptotes à ($\mathcal{C}$). \item Calculer $f '(x)$, où $f'$ est la dérivée de $f$. \item Étudier les variations de $f$. \item Dresser son tableau de variations. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente (D), à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $\ln 4$. \item Tracer sur un même graphique, la courbe ($\mathcal{C}$), ses asymptotes et la droite (D). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise fabrique un certain produit P. On appelle $x$ le nombre de tonnes de P fabriquées. On note $C(x)$ leur coût total de fabrication, exprimé en milliers d'euro. La fonction coût marginal, $C'$, est la dérivée de la fonction $C$. Pour tout $x \in [0~;~+ \infty[$, on a : $C'(x) = f(x)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. De plus, on suppose qu'il n'y a pas de charges fixes, donc que $C(0) = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le coût total est donné par : \[C(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t.\] \item Exprimer $C(x)$ en fonction de $x$. \item Quel est le coût total de 5 tonnes de ce produit P ? On en donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à la dizaine d'euro près. \end{enumerate} \item On appelle $C_{M}(x)$ le coût moyen défini, pour tout $x$ strictement positif, par : $C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $C_{M}(x)$ en fonction de $x$. \item Vérifier que, pour tout $x > 0,~ C_{M}(x) = 10 + \dfrac{10 \ln \left(1 + 4\text{e}^{-x}\right)}{x} - \dfrac{10 \ln 5}{x}$. \item En déduire la limite de $C_{M}(x)$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}