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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA}
\lfoot{\small{Janvier 2021}}

\begin{center}
\textbf{\Large Concours ADVANCE  ESME--EPITA--IPSA}\\

\medskip

\textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES (orale uniquement)}
\end{center}

\textbf{Consignes aux candidats}\\[10pt]
\textbf{Durée de l'épreuve : 30 minutes}

\bigskip

L'oral de mathématiques permet de vous évaluer sur la qualité de votre démarche de résolution des exercices en rapport avec le programme, votre maîtrise du programme, ainsi que l'agilité et la vitesse de résolution dont vous saurez faire preuve. Il permet en outre d'harmoniser votre niveau avec celui de tous les autres candidats.

\medskip

\textbf{Déroulement}

\medskip

$\bullet~~$Afin de tenir compte de l'avancement de chacun dans le programme de Terminale et de vous permettre de démontrer vos compétences dans les meilleures conditions, vous disposerez d'une certaine marge de choix: vous pourrez éliminer un certain nombre de thèmes sur lesquels vous ne serez pas interrogé.

$\bullet~~$Deux ou trois exercices vous seront ensuite proposés par l'examinateur. Après un temps de préparation, vous échangerez avec lui sur votre méthode de résolution.

\medskip

\textbf{Critères d'évaluation}

\medskip

$\bullet~~$Maîtrise des savoirs disciplinaires liés au programme de terminale

$\bullet~~$Capacités à dérouler un raisonnement et l'exposer de manière claire et rigoureuse 

$\bullet~~$Autonomie dans la résolution des exercices (avec ou sans aide de l'examinateur)

\medskip

\textbf{Notation}

\medskip

$\bullet~~$Résolution de l'exercice

$\bullet~~$Connaissance du cours associé au thème retenu

$\bullet~~$Rapidité dans la résolution de l'exercice

Il est conseillé de s'exercer sur chacun des thèmes proposés et de s'entraîner à résoudre les exercices \og à haute voix \fg, seul ou avec des camarades de classe, en explicitant votre méthode de résolution ainsi que les éléments de cours mis en œuvre dans la même limite de temps que le jour de l'épreuve orale.

\newpage

\begin{center} \textbf{\Large Mathématiques-Énoncés} \end{center} 

\bigskip

\textbf{Dérivées}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies par 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = \ln \left(x^2 - 2x + 3\right)$ pour tout $x \in  \R$
		\item $g(x) = \dfrac{1}{x}\text{e}^{-2x}$ pour tout $x \in  \R$
	\end{enumerate}
\item Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies pour tout $x \in  \R$ par
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)= \sqrt{2x^2+1}$ 
		\item $g(x) = 2x \ln \left(x^2+1\right)$
	\end{enumerate}
\item Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies par
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2}$ pour tout $x \in  \R\backslash  \{1~;~2\}$
		\item $g(x) = \left(2x^3 - x + 1\right)^{\np{2020}}$ pour tout $x \in  \R$
	\end{enumerate}
\item Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies pour tout $x \in \R$ par 
\begin{enumerate}
\item $f(x)= x \text{e}^{\frac{1}{x}} + 3\sqrt{x^2+1}$
\item $g(x)= (\sin (x)+ \cos(x))^{20}$
\end{enumerate}
\item Déterminer les dérivées des fonctions suivantes définies par
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)= \text{e}^{2x}\ln (2x+1)$ pour tout $x > - \dfrac{1}{2}$
		\item $g(x) = \left[\ln \left(x^2 + 1\right)\right]^{18}$
pour tout $x \in \R$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\textbf{Convexité -- Points d'inflexion}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 1\right)\text{e}^x$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$ et préciser les éventuels points d'inflexion pour la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-x} + x^2 - 4$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$.
		\item Soit $a$ un réel. Déterminer une équation de la tangente à 
$\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. 
		\item Déduire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$. 
		\item Montrer que pour tout réel $x$,\, $\text{e}^{-x} + x^2 - 4 \geqslant - x - 3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^4 - 2x^3 - 120x^2 + 3$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$ et préciser les éventuels points d'inflexion pour la courbe $\mathcal{C}_f$. 
		\item Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
		\item Montrer que pour tout réel $x \in [- 4~;~5]$,\, $x^4 - 2x^3 - 120x^2 + 3 \leqslant 3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$ et préciser les éventuels points d'inflexion pour la courbe $\mathcal{C}_f$. 
		\item Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
		\item Montrer que pour tout réel $x \in ]0~;~ +\infty[$,\,  $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Raisonnement par récurrence}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$, 

$\dfrac{1}{1 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 5} + \ldots + \dfrac{1}{(2n - 1)\times (2n - 3)} = \dfrac{n}{n+1}$.
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$,\, $1^3 + 3^3+ \ldots + (2n - 1)^3 = 2n^4- n^2$.
\item Soit $a \in \R$. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$,\, $(1 + a)^n \geqslant  1 + na$.
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$,\, $8^n - 1$ est divisible par 7.
\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$,\, $\displaystyle\sum_{k=1}^n  \dfrac{k}{2^k} = 2 - \dfrac{n + 2}{2^n}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Suites}

\medskip
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite vérifiant pour tout $n \in \N$,\, $u_{n+1} = 3u_n$ et $u_{15} = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_{30}$.
		\item Déterminer $u_{15} + u_{16} + \ldots + u_{30}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $S = \dfrac{1}{2} +2 + \dfrac{7}{2} + \ldots + \dfrac{19}{2} + 11$.

Déterminer $S$ après avoir vérifié que $S$ est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.
\item Soient $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ définies pour tout $n \in  \N^*$ par $u_n= 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}$ et $v_n= u_n + \dfrac{1}{n}$.

 Étudier la monotonie des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$.
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite vérifiant pour tout $n \in \N$,\,  $u_{n+1} = 3un + 4$ et $u_0 = 2$. 

Soit $v_n = u_n + 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		\item En déduire $\left(v_n\right)$ puis $\left(u_n\right)$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite vérifiant pour tout $n \in \N$, \, $u_{n+1} = u_n + 6$ et $u_5 = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_{20}$.
		\item Déterminer $u_5 + u_6 + \ldots + u_{20}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite vérifiant pour tout $n \in \N$,\, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 1}$ et $u_0 = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 1.
		\item Étudier la convergence de $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Limites}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les limites suivantes: 

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x^2 - 5x}{3x^2 + x + 4},\qquad \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}, \qquad \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x + 2x + 2}{x + 3}\]

\item Déterminer les limites suivantes :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^2}, \qquad \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2 + \ln (x)}{3x^2 - x + 2}\]

\item Déterminer les limites suivantes : 

\[\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{2x}\sin x, \qquad \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \cos \left(\dfrac{1}{x} \right)\]

\item Déterminer les limites suivantes :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\sqrt{x^2 - 3} - \sqrt{x^2 + 4x}\right), \qquad  \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\sin x}{x^2 + 3}\]

\item Déterminer les limites suivantes:

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2 - 2x + 3x^2}{4 + x + 6x^2}, \qquad 
\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin (3x)}{2x}\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Logarithme -- Exponentielle}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Résoudre dans $\R$ l'équation suivante:

$\ln (1 - 2x) = \ln (x + 2) + \ln 3$
\item Résoudre dans $\R$ l'équation suivante:
$\ln (2 - x) \leqslant \ln (2x + 1) - \ln 3$
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in \R$ par
$f(x) = \text{e}^x (2x - 3)$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation

$\text{e}^x - 2\text{e}^{-x} - 1 = 0$
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in \R$ par

$f(x) = 2\text{e}^x + \text{e}^{-x} +x$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
		\item Montrer que pour tout $x \in \R$, $f'(x) = \dfrac{\left(\text{e}^x + 1\right)\left(2\text{e}^x - 1\right)}{\text{e}^x}$
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in \R$ par

$f(x) = \dfrac{2\ln (x) - 1}{x}$
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
		\item Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R_{+}^{*}$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in \R$~ par

$f(x) = x + 1 + \dfrac{\ln (x)}{ x}$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$.
		\item Déterminer $f'$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
		\item Déterminer une primitive de $f$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ définie pour tout $x \in \R$ par

$f(x) = \left(3 - x^2 \right)\text{e}^{-x}$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
		\item Déterminer $f'$ puis le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Domaine de définition}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :

$f(x) = \ln \left(x^2 - 4\right)$ et $g(x) = \ln \left(\ln \left(\sqrt{x - 1}\right)\right)$
\item Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :

$f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$  et $g(x) = \ln \left(\sqrt{x^2 - 5x + 6}\right)$
\item Déterminer le domaine de définition de la fonction suivante : 

$f(x) = \dfrac{\sqrt{2x^2 + 3x - 2}}{x^2 - 3x - 4}$
\item Déterminer le domaine de définition de la fonction suivante :

$f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - x + 1}}{\sqrt{x^2 + 3x + 1}}$
\item Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : 

$f(x) = \sqrt{x^2 + x - 6}$ et $g(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)$
\item Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes:

$f(x) = \ln \left(\sqrt{- 3x^2 + x + 10} \right)$ et $g(x) = \ln \left(1 - \text{e}^x\right)$.

\item Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes:

$f(x) = \ln \left(20 - x - x^2\right)$ et $g(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Primitives et équations différentielles}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{-5}{(x + 3)^2}$ et $g$ la fonction définie par $g(x) = x\left(x^2 + 1\right)^5$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les primitives de $f$.
		\item Déterminer la primitive $G$ de $g$ vérifiant $G(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{3}{(x + 2)^2}$ et 

$g$ la fonction définie par $g(x) = \dfrac{3x + 2}{\sqrt{3x^2 + 4x + 1}}$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les primitives de $f$.
		\item Déterminer la primitive $G$ de $g$ vérifiant $G(0) = 2$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{\cos (2x)}{\sin (2x)}$ et $g$ la fonction définie par 

$g(x) = (x - 1)\text{e}^{x^2 - 2x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les primitives de $f$.
		\item Déterminer la primitive $G$ de $g$ vérifiant $G\left(\sqrt{2}\right) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 3}$ et $g$ la fonction définie par $g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\text{e}^{\sqrt{x^2 - 1}}$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les primitives de $g$.
		\item Déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(3) = \sqrt{6}$.
	\end{enumerate}
\item On considère les équations différentielles $\left(E_1\right)$\, : $2y' + 5y = 0$ et $\left(E_2\right)$ :\, $y' + \dfrac{1}{4}y = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre les deux équations.
		\item Déterminer la solution $f$ de $\left(E_1\right)$ vérifiant $f(2) = 1$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $y' - 3y = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de cette équation.
		\item Déterminer la solution $f$ de cette équation vérifiant $f(0) = 1$.
		\item Déterminer la solution $g$ de cette équation sachant que sa courbe représentative admet au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur $3$.
	\end{enumerate}
\item On considère les équations différentielles $\left(E_1\right)$ :\, $2y' - 3y = 1$ et $\left(E_2\right)$ :\, $y' - xy^2 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de $\left(E_1\right)$.
		\item Déterminer la solution $f$ de  $\left(E_1\right)$ vérifiant $f(0) = 1$.
		\item La fonction $h$ définie par $h(x) = \dfrac{- 2}{x^2 + 3}$ est-elle une solution de $\left(E_2\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $(E)$ :\, $y' - 2y = x\text{e}^x$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation $y' - 2y = 0$.
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $u$ définie par $u(x) = (ax + b)\text{e}^x$ de l'équation $(E)$.
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $(E)$ :\, $y' - 2y = 4x^2 - 4x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation $y' - 2y = 0$.
soit une solution
		\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $u$ définie par $u(x) = ax^2 + bx + c$ soit une solution de l'équation $(E)$.
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Dénombrement-Probabilités}

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $E= \{a~;~b~;~c~;~d~;~e~;~f\}$.
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de sous-ensembles de $E$ contenant trois éléments?
		\item Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former avec les lettres de $E$ ?
		\item Combien de mots de 3 lettres dont deux exactement sont distinctes peut-on former avec les lettres de $E$ ?
	\end{enumerate}
\item Une enquête sur la lecture de trois revues X, Y, Z, portant sur un échantillon de \np{1000}~personnes donne les résultats suivants :

$\bullet~~$60\,\%lisent X, 50\,\%lisent Y et 50\,\%lisent Z ;

$\bullet~~$20\,\%lisentYetZ,30\,\%lisent X et Z et 30\,\%lisent X et Y;

$\bullet~~$10\,\% lisent les trois revues.

Parmi ces \np{1000} personnes :

	\begin{enumerate}
		\item Combien lisent deux de ces revues exactement ? 
		\item Combien ne lisent aucune de ces revues ?
	\end{enumerate}		
\item Sur un damier de seize cases $(4 \times 4)$ on place quatre jetons sur quatre cases différentes.
	\begin{enumerate}
		\item Si les jetons sont de quatre couleurs différentes, de combien de façons peut-on les disposer ? 
		\item Si les jetons sont identiques, de combien de façons peut-on les disposer ?
		\item Si deux jetons sont blancs et les deux autres sont noirs, de combien de façons peut-on les disposer ?
	\end{enumerate}
\item En utilisant exclusivement les chiffres 3, 4, 5, 6 , 7 et 8, on désire former un nombre comportant 4 chiffres.
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de possibilités si les chiffres ne sont pas nécessairement distincts ? 
		\item Combien y a-t-il de possibilités si tous les chiffres doivent être distincts ?
		\item Combien y a-t-il de possibilités:
			\begin{enumerate}
				\item Si le nombre obtenu doit être inférieur à \np{5000} ?
				\item Si 3 et 4 ne doivent pas se suivre dans cet ordre (pas de 34).
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de mains de 5 cartes contenant:
	\begin{enumerate}
		\item exactement un roi, une dame et 2 valets? 
		\item l'as de pique et au moins 2 trèfles?
		\item exactement un roi et deux carreaux?
	\end{enumerate}
\item On considère une urne A contenant $20$ boules dont $4$ boules jaunes, $10$ boules vertes et $6$ boules rouges.

On tire $2$ boules successivement et sans remise dans cette urne et on s'intéresse à la couleur des boules tirées.
	\begin{enumerate}
		\item Cette expérience est-elle une succession d'épreuves indépendantes?
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og obtenir 2 boules rouges\fg.
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og obtenir 1 boule verte et 1 boule jaune \fg.
		\item Déterminer la probabilité que la première boule soit jaune sachant que la deuxième est rouge.
	\end{enumerate}
\item On considère une urne A contenant $10$ boules dont $5$ boules jaunes, $3$ boules vertes et $2$ boules rouges. On tire avec remise 2 boules dans cette urne.

On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
	\begin{enumerate}
		\item Cette expérience est-elle une succession d'épreuves indépendantes ?
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og obtenir 2 boules rouges\fg.
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement: \og obtenir 1 boule verte et 1 boule jaune \fg.
		\item Déterminer la probabilité que la première boule soit jaune sachant que la deuxième est rouge.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie dans l'espace}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite (AB) où A$(1~;~ 2~;~-1)$ et B$(0~;~1~;~3)$ et le plan $P$ d'équation $x + y + z - 1 = 0$.

Étudier l'intersection de la droite (AB) et du plan $P$.
\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les plans $P$ et $R$ d'équations respectives: $(P) : x - 3y + 2z = 5$ et $(R): 2x + y + 7z = 1$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans $P$ et $R$ sont sécants.
		\item Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.
	\end{enumerate}
\item Soit $d$ et $d'$ les droites ayant pour représentations paramétriques respectives : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-3+t\\
y&=&-2- t\\
z&=& -1 +t  
\end{array}\right., t \in \R$\quad  et \quad $\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&k\\
y&=&1+k\\
z&=& -1 - 4k
\end{array}\right., k \in \R$

Étudier l'intersection des deux droites $d$ et $d'$.
\item L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. 

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1~;~ -1~;~2)$, B(3~;~3~;~8), C$(-3~;~5~;~4)$ et D(1~;~2~;~3).
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle BCD est-il rectangle ?
		\item Les quatre points A, B, C et D sont-ils coplanaires?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}