\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx,multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{makecell} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{fltpoint} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES (A1} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small juin 1994} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 Polynésie~\decofourright\\juin 1994 }} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip On veut ranger trois boules distinctes numérotées de 1 à 3 dans deux cases A et B. On suppose que chacune des cases peut contenir de zéro à trois boules. La place des boules dans les cases est considérée comme sans importance. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'il y a $2^3$ rangements possibles. \item On suppose que tous les rangements ont la même probabilité de se réaliser. Calculer les probabilités des évènements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{description} \item[ ] E : \og toutes les boules sont dans la case A \fg \item[ ] F : \og il n'y a pas de boule dans la case A \fg \item[ ] G : \og A contient la boule portant le numéro 2 \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout rangement associe le nombre de boules contenues dans la case A. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{N. B.} On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : \[g(x) = x - \text{e}^x\] et $C_{1}$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$. Étudier les variations de $g$, déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$ (on pourra mettre $x$ en facteur) puis déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)$. Dresser le tableau de variation de $g$. \item Montrer que la droite D d'équation $y = x$ est asymptote à $C_{1}$ et préciser la position de $C_{1}$ par rapport à D. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère maintenant la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{x^2}{2} - \text{e}^x.\] Soit $C_{2}$ sa courbe représentative. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = g(x)$. Déduire de la partie A le signe de $f'(x), x \in \R$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ (on pourra mettre $x^2$ en facteur), puis déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. Dresser le tableau de variation de $f$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique dans $\R$, cette solution appartenant à $[- 1~;~0]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x) - g(x),\: x \in \R$. En déduire la position de $C_{2}$ par rapport à $C_{1}$· \item Construire D, $C_{1}$ et $C_{2}$ dans le repère \Oij. \item Déterminer en cm$^2$ l'aire de la portion du plan comprise entre les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$. \end{enumerate} \end{document} %%%%%%% Un organisateur de voyages propose dans son catalogue 84 voyages différents. Ces voyages sont classés suivant leurs destinations (Europe, Afrique, Asie, Amérique) et leur \og genre \fg (\og aventure \fg, \og séjour détente \fg, \og circuit car \fg). Le tableau ci-dessous indique le nombre de voyages proposés, par catégories. \medskip \renewcommand{\multirowsetup}{\centering} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|r|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{2}{|r|}{Destination} & Europe & Afrique & Amérique & Asie\\ \hline \multirow{3}{2em}{\rotatebox{90}{Genre~~~}}&Aventure &5 &8 &5 &6\\\cline{2-6} &Séjour &12 &9 &10 &5\\ \cline{2-6} &Circuit & 10 &2 &8 &4\\ \hline \end{tabularx} \medskip Pierre et Jean voudraient partir ensemble pendant les vacances, mais ne peuvent se mettre d'accord sur le choix du voyage. Ils décident donc de tirer au sort. Pierre inscrit la référence de chacun des 84 voyages sur un papier, puis répartit les papiers dans 3 urnes, suivant leur genre : une urne \og Aventure \fg, une urne \og Séjour \fg et une urne \og Circuit \fg. Les 3 urnes sont supposées indiscernables, de même que les papiers qu'elles contiennent. Jean choisit une urne, au hasard, puis il tire un papier de cette urne. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que Jean tire un voyage \og Aventure \fg{} ? \item Quelle est la probabilité pour que Jean tire un voyage en Afrique, sachant qu'il a tiré dans l'urne \og Aventure \fg{} ? \item Quelle est la probabilité pour que Jean tire un voyage \og Aventure \fg{} en Afrique ? \item Montrer que la probabilité de tirer un voyage en Afrique est $\dfrac{2}{9}$. \end{enumerate} \textbf{N. B.} : Les résultats seront donnés sous forme de fraction. %%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 (série B)} \hfill 6 points} \medskip L'étude d'une population animale en voie de disparition a donné les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année $x$ & 1950 & 1960 & 1970 & 1980 & 1990\\ \hline Population $y$ (en milliers)&\np{4450} &\np{1250} &280 &100 &28\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Dans un plan muni d'un repère orthogonal, tracer le nuage de points $M(x~;~y)$. (Il sera tenu compte du choix des unités) (figure 1). \item Un ajustement linéaire n'étant visiblement pas adapté, on pose : $z = \ln y$. \begin{enumerate} \item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1,5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 1950 & 1960 & 1970 & 1980 & 1990\\ \hline $z$ & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip (On donnera les valeurs décimales approchées de $z$ à $10^{-2}$ près par défaut.) \item Représenter le nuage de points $P(x~;~z)$ (figure 2). \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Un ajustement linéaire est-il justifié ? \item Écrire une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$. On calculera $a$ à $10^{-5}$ près et $b$ à $10^{-2}$ près. Tracer cette droite sur la figure 2. \item En utilisant cet ajustement, estimer la valeur de $z$ en l'an 2000. Combien resterait-il d'animaux en l'an 2000 ? \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 2x + \dfrac{1}{3\left(\text{e}^x - 1 \right)}.\] Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \Oij{} (unité graphique : 5 cm). La courbe représentative de $f$ dans P est appelée $\mathcal{C}$. Le but du problème est l'étude de $f$ et le calcul d'une aire liée ;à $f$. \bigskip \textbf{PARTIE A} \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $I = ]0~;~+ \infty[$ par : \[g(x) = 6 \text{e}^{2x} - 13 \text{e}^{x} + 6.\] \begin{enumerate} \item Vérifier l'égalité $g(x) = 6 \left(\text{e}^{x} - \dfrac{3}{2}\right) \left(\text{e}^{x} - \dfrac{2}{3}\right)$. \item Déterminer le signe de $g(x)$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} \textbf{Étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. Vérifier que : $f'(x) = \dfrac{g(x)}{3\left(\text{e}^{x} - 1\right)^2}$. Dresser le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes dont l'une, D, a pour équation $y = 2 x$. Étudier la position relative de D et $\mathcal{C}$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 3$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~ 2], et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant, en donnant des valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0,1 &0,2 &0,4 &0,6 &0,8 &1 &1,2 &1,4 &1,6 &1,8 &2\\ \hline $f(x)$ & & & & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En utilisant les résultats des questions précédentes, construire D, puis $\mathcal{C}$, pour $x \in ]0~;~2]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \textbf{Calcul d'aire} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de $I = ]0~;~+ \infty[$,\: $\dfrac{1}{3\left(\text{e}^x - 1 \right)} = \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{\text{e}^{- x}}{1 - \text{e}^{- x}} \right)$. En déduire une primitive de la fonction définie par $f(x) - 2 x$, sur $I$. \item \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel de l'intervalle $J = \left[\dfrac{3}{2}~;~\text{e}^2\right]$. Montrer que l'aire, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par les deux droites d'équations $x = \ln \dfrac{3}{2}$ et $x = \ln \lambda$, la droite D et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à : \[\dfrac{25}{2}\ln \left[3\left(1 - \dfrac{1}{\lambda}\right) \right]\] \item Calculer $\lambda$ pour que cette aire soit égale à $\dfrac{25}{6}$. (On donnera la valeur exacte de $\lambda$, puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près par défaut.) \end{enumerate} \end{enumerate}