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%Tapuscrit : Arié Yallouz 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin  2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  7 juin  2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
\emph{Cet exercice  est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chaque question,  une seule des quatre réponses  proposées  est correcte.\\
Une réponse  juste rapporte  $1$  point  ; une réponse  fausse ou l'absence  de réponse ne rapporte  ni n'enlève de point.\\
Reporter sur le sujet le numéro de la question  ainsi que la réponse choisie.  Aucune justification  n'est demandée.}

\bigskip

On considère  la fonction  $f$  définie  sur $\R$ par :  $f (x) =  x\mathrm{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'image  $f\left( \ln 2\right)$ de $\ln 2$ par $f$ est égale  à  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $\ln 2$ & \textbf{b.~~} $-2\ln 2$ \\ 
\textbf{c.~~} $2\ln 2$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2}\ln 2$
\end{tabularx}
\medskip

\item $f$ est dérivable sur $\R$ et on note  $f'$ sa fonction  dérivée.  Alors,  pour tout nombre réel $x$, on a  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
\textbf{a.~~}  $f'(x) =  \mathrm {e}^{-x}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = - \mathrm {e}^{-x}$ \\
\textbf{c.~~}  $f'(x) = (1-x) \mathrm {e}^{-x}$ &\textbf{d.~~} $f'(x) =  (1+x)\mathrm {e}^{-x}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction  $f$  au point d'abscisse  0 est  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $y=2x$ 	&\textbf{b.~~} $y=x-1$ \\
\textbf{c.~~} $y=x$ &\textbf{d.~~} $y=2x-1$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La fonction  $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} concave sur $[0~;~1]$ 	&\textbf{b.~~} concave sur $[0~;~+\infty [$ \\
\textbf{c.~~} convexe sur $[0 ;+\infty [$ &\textbf{d.~~} convexe sur $[0 ; 1 ]$
\end{tabularx}
\medskip
  
\item L'intégrale  $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\mathrm{d}x$ est égale à  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} $\mathrm {e} - 5$ 	&\textbf{b.~~} 5 \\
\textbf{c.~~} $\dfrac{\mathrm {e}-2}{\mathrm {e}}$ &\textbf{d.~~} 1
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Une agence  de voyage  propose  des formules week-end  à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport  et l'hôtel sont compris.  Les clients  doivent  choisir entre les deux formules  : \og avion + hôtel \fg{} ou \og train + hôtel \fg{} et peuvent  compléter ou non leur formule  par une option \og visites guidées \fg{}.

Une étude  a produit  les données suivantes  :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 40\,\%  des clients optent  pour la formule   \og avion + hôtel \fg{} et les autres pour la formule  \og train + hôtel \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] parmi les clients  ayant choisi la formule  \og train + hôtel \fg{}, 50\,\% choisissent  aussi l'option \og visites guidées \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] 12\,\% des clients ont choisi la formule  \og avion + hôtel \fg{}  et l'option  \og visites guidées \fg{}.
\end{itemize}
 
On interroge  au hasard  un client  de l'agence  ayant souscrit  à une formule  week-end  à Londres.  On note  :

\begin{itemize}
\item[] $A$ l'évènement : le client  interrogé a choisi la formule   \og avion + hôtel \fg{} ;
\item[] $T$ l'évènement : le client  interrogé a choisi la formule  \og train + hôtel \fg{} ;
\item[] $V$ l'évènement : le client  interrogé a choisi l'option  \og visites guidées \fg{}.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement : le client interrogé  a choisi la formule  \og avion + hôtel \fg{} et l'option  \og visites guidées \fg{} ?
		\item Calculer la probabilité $P_A(V)$.
		\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité  pour que le client interrogé ait choisi  l'option \og visites guidées \fg{} est égale à 0,42.
		\item Calculer la probabilité  pour que le client interrogé  ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option \og visites guidées \fg{}. Arrondir  le résultat au millième.
	\end{enumerate}
\item L'agence pratique les prix (par personne)  suivants  :

\begin{center}
 
\fbox{\parbox {6cm}{
\begin{itemize}
\item[] Formule  \og avion + hôtel \fg{} : $390$ \euro
\item[] Formule  \og train + hôtel \fg{} : $510$ \euro
\item[] Option   \og visites guidées \fg{} : $100$ \euro
\end{itemize}}}
\end{center}

Quel montant  du chiffre d'affaires  l'agence  de voyage  peut-elle espérer obtenir avec $50$ clients qui choisissent  un week-end  à Londres ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{center}
\emph{Les parties  A et B sont indépendantes}
\end{center}
 
Alors  qu'une  entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente  B est autorisée à s'implanter.

Lors de l'ouverture au public  en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise  A possède  90\,\% du marché  et l'entreprise B possède  le reste du marché.

Dans cet exercice,  on suppose  que chaque  année, chaque internaute  est client d'une seule entreprise A ou B.

On observe  à partir de 2010 que chaque année,  15\,\% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise  B, et 10\,\% 
des clients de l'entreprise  B deviennent  des clients de l'entreprise  A.

Pour tout entier naturel  $n$, on note $a_n$ la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise  A pour l'année  $2010 + n$, et $b_n$, la probabilité  pour que son fournisseur d'accès  en $2010 + n$ soit l'entreprise  B.


On note  $P_n =\begin{pmatrix} a_n & b_n \end{pmatrix}$ la matrice correspondant  à l'état probabiliste  de l'année $2010 + n$ et on a ainsi $a_0 = 0,9$ et $b_0 = 0,1$.

\medskip
 
\textbf{\textsc{partie a}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter  cette situation par un graphe  probabiliste.
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe.
\item Montrer qu'en 2013,  l'état probabiliste  est environ $\begin{pmatrix} 0,61 & 0,39 \end{pmatrix}$.
\item Déterminer  l'état stable $P =\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ de la répartition  des clients des entreprises  A et B. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{\textsc{partie b}}

\medskip

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise  B distribue  un stylo ou un porte-clés  ; il en coûte à l'entreprise  0,80 \euro{} par stylo et 1,20 \euro{} par porte-clés distribué.

À la fin de la journée l'entreprise  a distribué  550 objets  et cela lui a coûté 540 \euro.

On cherche le nombre  $s$ de stylos  et le nombre $c$ de porte-clés  distribués.

\begin{enumerate}
\item Écrire un système  traduisant  cette situation.
\item Montrer que le système précédent est équivalent à $R \times X = T$ où $R =\begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
0,8 & 1,2 \end{pmatrix}$ et $X$ et $T$ sont des matrices  que l'on précisera.
\item Résoudre  le système à l'aide  de la calculatrice.  Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
La production des perles de culture de Tahiti est une activité  économique importante  pour la Polynésie Française.

Les montants réalisés à l'exportation des produits perliers de 2008 à 2011  sont donnés dans le tableau suivant,  en milliers d'euros  :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Années & 2008 &	2009 &	2010 &  2011 \\ \hline
Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) & \np{81295} & \np{66052} & \np{64690} & \np{63182}\\ \hline
\multicolumn {5}{r}{\scriptsize{\textsf{Source :  ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie  Française)}}} \\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Montrer  que le taux d'évolution  annuel moyen  des montants  à l'exportation  des produits perliers  de Polynésie  entre 2008  et 2011  est  $-  8,06\%$ arrondi au centième.
\end{enumerate}
 
\emph{On admet  pour la suite de l'exercice,  que la production continuera  à baisser  de  8\,\% par an à partir de 2011}.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On considère  l'algorithme suivant  :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{3cm}|X|}	\cline{2-2}
\textsf {\textbf{Entrée}} & Saisir un nombre positif P  \\ 	\cline{2-2}
\textsf {\textbf{Traitement :}} & Affecter  la valeur 0 à la variable  N \hfill\{initialisation\}\\
& Affecter la valeur \np{63182} à  U \hfill\{initialisation\} 

\medskip

 Tant que $\mathrm{U} > \mathrm{P}$ 
\begin{itemize}
\item[] Affecter la valeur N + 1 à N
\item[] Affecter la valeur $0,92 \times \mathrm{U}$ à $\mathrm{U}$  
\end{itemize}
Fin de Tant que

\medskip
Affecter la valeur N + 2011 à N \\ \cline{2-2}
\textsf {\textbf{Sortie}} & Afficher N  \\ 	\cline{2-2}

\end{tabularx}

\medskip

Si on saisit $\mathrm{P} = \np{50000}$ en entrée,  qu'obtient-on  en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte  de la production  de perles.

\item Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation  par une
suite $\left(u_n\right)$. On note $u_0$ le montant en 2011,  en milliers d'euros,  et $u_n$ le montant  en $2011+n$, en milliers
d'euros. On a donc  $u_0 = \np{63182}$ et on suppose  que la valeur baisse  tous les ans de 8\,\%.
\begin{enumerate}
\item Montrer  que $\left(u_n \right)$ est une suite géométrique  dont on précisera la raison.
\item Exprimer,  pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction  de $n$.
\item Avec ce modèle, quel montant  peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira  le résultat  au millier d'euros.
\end{enumerate}
\item Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés  que l'on peut prévoir  avec ce modèle à partir de 2011 (comprise)  jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
On s'intéresse  à une espèce de poissons présente  dans deux zones  différentes  (zone  1  et zone 2) de la planète.

\medskip
 
\textbf{A. Étude de la zone  1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X m{6cm}@{}} 
On note  $X$ la variable aléatoire qui  à chaque poisson observé dans la zone  1 associe sa taille en cm.

Une étude statistique  sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne  $\mu$  et
d'écart type  $\sigma = 30$. La courbe  de la densité de probabilité associée à $X$ est représentée ci-contre.
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
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\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.016){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=30, mue=50, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Par lecture  graphique,  donner la valeur  de $\mu$.
\item On pêche un de ces poissons dans la zone 1.  Donner  la probabilité, arrondie  à $10^{-2}$, d'avoir un poisson  dont la taille est comprise  entre $150$~cm et $210$~cm.
\item Un poisson  de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand  il  mesure plus de $120$~cm.

On pêche un poisson de l'espèce  considérée  dans la zone 1. Donner la probabilité,  arrondie à $10^{-2}$, de pêcher un poisson  adulte.
\item On considère  un nombre  $k$ strictement plus grand que la valeur moyenne $\mu$.

Est-il vrai que $P(X < k) < 0,5$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{B. Étude de la zone  2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Certains  poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prélève de façon  aléatoire  un échantillon de 50 poissons de cette espèce  dans la zone  2 et on constate que 15 poissons sont malades.
\begin{enumerate}
\item Calculer la fréquence $f$  de poissons malades dans l'échantillon.
\item Déterminer un intervalle de confiance, au niveau  de 95\,\%, de la proportion $p$ de poissons malades dans toute  la zone 2. On arrondira les bornes au millième.
\end{enumerate}
\item Soit $Y$ la  variable  aléatoire qui, à chaque  poisson de l'espèce  considérée  de la zone 2, associe  sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire  $Y$ suit la loi normale  de moyenne  $\mu' = 205$ et d'écart type $\sigma' = 40$.

En comparant  avec le graphique de la zone 1 donné  à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type  $\sigma = 30$, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité  de la variable aléatoire $Y$. Justifier  la réponse.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\uput[dl](8,5){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe}  1}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,5)
\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm}
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\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.016){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=40, mue=105, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\uput[dl](8,7){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe}  2}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,7)
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\psGauss[sigma=20, mue=105,linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(9,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\uput[dl](8,5){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe}  3}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,5)
\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Ox=100, Dy=0.0064,comma]{->}(0,0)(-75,-.0063)(225,0,016)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.016){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=40, mue=50, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-75}{225}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}