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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small  juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1995~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une étude statistique de l'INSEE sur la situation des familles françaises a permis de construire le graphique joint ci-après.
 
On se propose de faire une prévision pour la situation en 1995, en admettant que l'évolution se poursuive de la même façon.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser le graphique pour compléter le tableau suivant (que l'on recopiera sur la copie) :
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $a_{i}$& 1970 &1975 &1980 &1985 &1990\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
Nombre de naissances hors mariage &&&&&\\ \hline
Pourcentage correspondant $z_{i}$&6,5&&&&30\\ \hline
$y_{i} = \ln z_{i}$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Les pourcentages $z_{i}$ seront lus à 0,5\,\% près et les valeurs de $y_{i}$ données à $10^{-2}$ près. 
		\item Calculer le nombre total de naissances en 1990.
	\end{enumerate} 
\item Comme le suggère le graphique, un ajustement affine est à rejeter. On va procéder à un ajustement exponentiel. Le détail des calculs n'est pas demandé. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 5~cm sur l'axe des ordonnées) dont on choisira convenablement l'origine. 
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. Donner 
l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la méthode des 
moindres carrés. Représenter cette droite sur le graphique de la question précédente.
		\item Quelle valeur de $y$ peut-on prévoir en 1995 ? En déduire une estimation du pourcentage du nombre de naissances hors mariage, par rapport au nombre total de naissances, en 1995.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(0,-4)(6,32)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1965](0,0)(6,32) 
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(6,\n)}
\uput[r](0,32){Pourcentage}\uput[u](6,0){Années}
\psdots[dotscale=1.5](1,6.5)(2,8.5)(3,12)(4,20)(5,30.1)
\rput(3,-3.5){Document graphique: source INSEE, statistiques de l'état-civil.}
\end{pspicture}
\end{center}
Exemple de lecture : en 1980, \np{229107} enfants sont nés hors mariage et représentent 30,1\,\% du total des naissances. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le but de cet exercice est de vérifier l'efficacitéé d'un vaccin sur une population donnée. On dispose des données suivantes :
 
\begin{enumerate}
\item[i.]  Un quart de la population a été vaccinée contre la maladie. 
\item[ii.] Au cours d'une épidémie. on constate qu'il y a 1 vacciné sur 13 parmi les malades.
\item[iii.] La probabilité qu'un individu soit malade sachant qu'il est 
vacciné est égale à $0,1$.
\end{enumerate}

Pour une personne choisie au hasard on notera 

$M$ l'évènement \og être malade \fg, $\overline{M}$ son contraire,
 
$V$ l'évènement \og être vacciné \fg, $\overline{V}$ son contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne dans la population. 

Décrire à l'aide de $M$ et de $V$ les diverses situations possibles de 
cette personne, en ce qui concerne la vaccination et l'atteinte par 
la maladie (par exemple: \og être malade et être vacciné \fg, etc.).

Traduire, en langage de probabilités, les hypothèses de l'énoncé.
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og $M$ et $V$ \fg, notée  $p(M (] V$).

En déduire que la probabilité $p(M)$ de l'évènement $M$ est égale à $\dfrac{13}{40}$.
\item Calculer les probabilités des deux évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item \og être malade et ne pas être vacciné \fg, notée $p\left(M \cap \overline{V}\right)$.
		\item \og  être malade sachant que l'on n'est pas vacciné \fg, notée $p\left(M/\overline{V}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le réel $k$ tel que $p(M/V) = kp\left(M /\overline{V}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches.
 
On tire simultanément 2 boules.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les probabilités des évènements suivants :
 
$A$ : \og Obtenir 2 boules blanches \fg.
 
$B$ : \og Obtenir 2 boules rouges \fg.

$C$ : \og Obtenir 2 boules de couleurs différentes \fg.
 
Quelle est la probabilité pour qu'il soit satisfait 4 fois sur 5 ?
\item On fixe la règle du jeu suivante : lors d'un tirage de deux boules 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item on gagne $10$ francs si l'on tire deux boules blanches (évènement $A$); 
\item on gagne $2$ francs si l'on tire deux boules rouges (évènement $B$) ; 
\item on perd $5$ francs si l'on tire deux boules de couleur différente (évènement $C$). 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On définit ainsi une variable aléatoire $X$ égale au gain, positif ou  négatif, associé à une partie.
 
Quelle est l'espérance de gain au cours d'une partie (espérance mathématique de $X$) ? 
\item On répète $5$ fois de suite le tirage, en remettant à chaque fois les 
boules tirées dans l'urne, de sorte que les tirages successifs peuvent 
être considérés comme indépendants. Le joueur est satisfait à chaque fois que $A$ est réalisé.
 
Quelle est la probabilité pour qu'il soit satisfait 4 fois sur 5 ?

On donnera une valeur décimale approchée à $10^{-5}$ près. - 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}


\medskip

L'objectif de ce problème est l'étude de la fonction $f$ définie dans $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{3\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1}\] 

et de sa représentation graphique $\mathcal{C}$ dans un plan muni d'un repère orthonormé (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $g$ définie dans $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{3x - 1}{lx + 1}.\] 

Étudier les variations de $g$ ; on précisera la limite en $+ \infty$. 
		\item Montrer que la fonction $f$ est la composée de $g$ et d'une fonction 
à préciser, dont on rappellera le sens de variation. 
		\item Utiliser b. pour étudier les variations de $f$ sur $\R$. On déterminera 
les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ et on en donnera l'interprétation 
 graphique.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\dfrac{f(x) + f(-x)}{2}$. 
 
Il en résulte, ce que l'on admettra, que la courbe $\mathcal{C}$ a le point I(0~;~1) 
comme centre de symétrie. 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. 

Donner une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 
		\item Utiliser tous les résultats obtenus précédemment pour construire $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = 4\ln \left(\text{e}^x + 1\right) - x\]

est une primitive de $f$. 
		\item Calculer l'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$. On donnera une valeur exacte, puis une valeur approchée en cm$^2$, au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}