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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{\\textbf {A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}   
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 1999~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}
        
\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle
[1~;~6]. Sa courbe représentative ($\mathcal{C}$) dans	un repère orthogonal est donnée ci-contre.

La courbe ($\mathcal{C}$) passe par les points A(1~;~0), B(2~;~1), D(4~;~4) et E(6~;~1).

Les tangentes à la courbe aux points A et D sont parallèles à l'axe des
abscisses.

La tangente à la courbe au point E passe par le point F(5~;~5).

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(6,5)
\rput(0.8,0.2){A} \rput(1.8,1.2){B} \rput(2.5,2.7){\blue $\mathcal{C}$}
\rput(4.2,4.2){D} \rput(6.2,0.9){E} \rput(4.7,4.7){F}
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(0,0)(0,1)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](4,4)(4.5,3.92)(5,3.74)(5.5,2.5)(6,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 2.5 mul 25 x mul 6 div sub 2 add x 3 exp 3 div sub}
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](4,4)(5.5,4)(5.5,3)(6,1)
\psline[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{<->}(3.5,4)(4.5,4) \psline(6,1)(5,5)  \psline[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(6,1)(5,5)
\psline{<->}(0,0)(2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Partie I}

\medskip

Par lecture graphique, résoudre l'équation $f(x) = 0$ et donner le signe
de $f(x)$ sur l'intervalle [ 1 ; 6].

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle ] 1 ; 6 ] par
$g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ et ($\Gamma$) sa courbe représentative dans un repère
orthonormal d'unité graphique 2 cm.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $g(2),~ g(4)$ et $g(6)$.
		\item Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers 1.
		
Que peut-on en déduire pour la courbe ($\Gamma$) ?
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle ] 1 ; 6 ]
en donnant les justifications nécessaires. 
		\item Déterminer $f'(4)$ ; en déduire $g'(4)$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe ($\Gamma$) ainsi que son
asymptote et la tangente au point d'abscisse 4.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau suivant donne pour les années indiquées, le nombre de demandes
d'emploi en fin d'année dans une région.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l |r @{\:}l |r@{\:} l|}\hline
     & \multicolumn{2}{|c |}{1996} & \multicolumn{2}{| c |}{1997}\\ \hline
Total 				& ~~~85 &079~~~ & ~~~85 &240~~~\\ \hline
Moins de 25 ans 	&22 	&238 	&20		&276\\ 
De 25 ans à 39 ans 	&54 	&719 	&55 	&994\\
50 ans et plus		&8 		&122 	&8 		&970\\ \hline
Hommes 				&39 	&998 	&39 	&766\\
Moins de 25 ans 	&10 	&176 	&9 		&170\\
De 25 ans à 39 ans	&25 	&528 	&25 	&853\\
50 ans et plus		&4 		&284 	&4 		&743\\ \hline 
Femmes 				&45 	&091 	&45 	&474\\
Moins de 25 ans 	&12 	&062 	&11 	&106\\
De 25 ans à 39 ans 	&29 	&191 	&30		&141\\
50 ans et plus 		&3 		&838 	&4 		&227\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\tiny{Source: ANPE-INSEE Poitou-Charentes.}}
\end{tabular}

\end{center}

\emph{Les résultats des calculs seront donnés sous forme approchée 
à $10^{- 2}$ près par défaut.}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le pourcentage d'évolution du total des demandes d'emploi entre 1996 et 1997.
\item Le nombre de demandes d'emploi est en baisse pour une tranche d'âge 
seulement.

Calculer le pourcentage d'évolution des demandes d'emploi des hommes pour cette tranche d'âge.
\end{enumerate}
\item En 1996, une entreprise est subventionnée pour employer une personne de 
moins de 25 ans. 
Elle choisit une personne au hasard parmi les demandeurs d'emploi concernés. 
Tous les choix sont équiprobables.

Quelle est la probabilité que la personne embauchée soit une femme ? 
\item L'entreprise désire créer un emploi en 1998 et
choisit au hasard une personne dans les demandeurs d'emploi de 1997. Tous les
choix sont équiprobables.
 
Calculer la probabilité $p$ que la personne embauchée soit un homme.\\ 
Vérifier que 0,46 est une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près 
de $p$.
\item Dans cette question, on prendra $p$ égal à $0,46$.
L'entreprise choisit trois demandeurs d'emploi de 1997.
Les choix sont indépendants et on assimilera ce choix à un tirage avec
remise.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité qu'elle choisisse trois hommes ?\\
		\item Quelle est la probabilité qu'elle choisisse un homme et un seul

On pourra utiliser un arbre pondéré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour financer ses études, une étudiante fait du démarchage par
téléphone pour vendre un produit qui lui rapporte 20 francs. Elle ne peut vendre qu'un produit par appel.
 
Lorsqu'elle compose un numéro de téléphone, trois possibilités se présentent :
 
$\bullet$~ l'évènement $A$ \og Personne ne répond \fg{} de probabilité $p(A)$ égale à
 0,3~;
  
$\bullet$~ l'évènement $B$ \og Le répondeur téléphonique diffuse un message \fg{} avec une probabilité $p(B)$ égale à 0,1~ ;
 
$\bullet$~l'évènement $C$ \og Un correspondant répond \fg{} de probabilité $p(C)$ égale à 0,6.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La probabilité que l'étudiante vende son produit sachant
 qu'un correspondant répond à son appel est égale à $0,4$.
 
Les probabilités qu'elle vende son produit dans les autres cas sont nulles.

Vérifier que la probabilité que l'étudiante réalise une vente lors d'un appel
 téléphonique fait au hasard est égale à $0,24$.
\item Lorsque personne ne répond à son appel téléphonique, l'étudiante débourse 0 franc.
  
Lorsqu'un répondeur téléphonique diffuse un message, l'étudiante débourse 1
 franc.
 
Lorsqu'un correspondant répond, l'appel coûte 1 franc et dans ce cas 

$\rhd~$ si l'étudiante vend son produit, qui lui rapporte 20 francs, elle
 aura donc fait un gain de $+ 19$ francs,
  
$\rhd~$ si elle ne vend pas son produit, elle aura perdu 1 franc.

On considère la variable aléatoire $X$ correspondant au gain algébrique possible lors d'un appel téléphonique de l'étudiante.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la probabilité que le gain algébrique soit égal à $-1$ est 0,46.
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'étudiante compose successivement de manière indépendante cinq numéros de téléphone au hasard. Déterminer la probabilité qu'elle réalise exactement trois ventes.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On prendra pour unité
graphique 2 cm.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle 
$[0~;~+~\infty[$ par

\[f(x) = (-~x + 4)\text{e}^{x- 1}~ \text{et}~ g(x) = \ln\left(\dfrac{x + 6}
{2x + 2}\right).\]

Dans le repère choisi, on appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de 
$f$ et $(\Gamma)$ la courbe représentative de $g$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\gray Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
\item Vérifier que la fonction dérivée de $f$ est
définie pour tout $x$ positif par $f'(x) = (- x + 3)\text{e}^{x - 1}$ .\\
\item Étudier le sens de variation de la fonction
$f$ et dresser son tableau de variation. On précisera $f(0),~ f'(0),~f(3),~ 
 f'(3).$ 
\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$.
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la
fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ par $F(x) = 
(ax+ b)\text{e}^{x- 1}$ soit une primitive de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\gray Partie B}

\medskip

On considère la fonction $u$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par

\[u(x) = \dfrac{x + 6}{2x + 2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout $x$ positif, $u(x)$ est
 strictement positif.  
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $u(x)$ quand $x$ 
tend vers $+ \infty$.
		\item étudier le sens de variation de $u$.\\ 
Dresser le tableau de variations de $u$ et retrouver le résultat de la question  \textbf{1.} de la partie \textbf{B}.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats précédents, 
déterminer le sens de variation de la fonction $g$ et démontrer que la courbe
$(\Gamma)$ admet une asymptote $(D)$ au voisinage de $+~\infty$ dont on donnera une  équation.
\item Tracer la courbe $(\Gamma)$ et la droite $(D)$
sur le même graphique que celui de la partie \textbf{A}.
\item Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle  $[0~;~+ \infty[$  par

\[G(x) = (x+ 6)\ln(x + 6) - (x + 1)\ln(2x + 2).\]

Démontrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle 
$[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre, à l'aide des représentations 
graphiques faites, l'inéquation 

$g(x) \leqslant f(x) .$
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ du
domaine du plan constitué des points $M(x~;~ y)$ tels que :
 
\[2 \leqslant x \leqslant 3~ \text{et}~ g(x) \leqslant y \leqslant 
f(x).\]
 
Donner l'arrondi de $\mathcal{A}$ à l'unité près.
\end{enumerate}
\end{document}