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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Polynésie}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2000~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un client désirant louer une voiture auprès de la société ALIZÉ doit formuler sa demande en précisant deux critères :
  
$\bullet~~$ la puissance du véhicule : il a le choix entre deux catégories A ou B ;

$\bullet~~$ l'équipement : voiture climatisée ou non climatisée.

Une étude statistique portant sur un grand nombre de clients a permis d'établir que 60\,\% des clients louent une voiture de catégorie A et que, parmi eux,  20\,\% désirent la climatisation. En revanche, 60\,\% des clients préférant la catégorie B optent pour la climatisation.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire à l'aide d'un arbre pondéré la situation
 décrite ci-dessus.
\item Dans cette question, on donnera des résultats
 numériques exacts. On choisit au hasard un client et on définit les évènements suivants :
 
\og Le client a choisi une voiture de catégorie A climatisée \fg{}
 
\og Le client a choisi une voiture climatisée \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de ces évènements.
		\item Quelle est la probabilité pour que la voiture choisie soit de catégorie A, sachant qu'elle est climatisée ?
	\end{enumerate}
\item On suppose que le nombre des clients est suffisamment
 important pour que la probabilité de choisir une voiture climatisée de catégorie A soit, pour chacun d'eux, celle obtenue à la question 2 et que leurs choix sont indépendants les uns des autres. On choisit au hasard trois clients.
  
Soit $X$ le nombre de voitures de catégorie A climatisées louées par ces trois clients. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $[X = 3]$ est $(0,12)^3$.		 
	\item Déterminer la probabilité de l'évènement $[X = 0]$ et en donner l'arrondi à deux décimales.	
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og Au moins un des clients a choisi une voiture de catégorie A climatisée \fg{} et en donner l'arrondi à deux décimales.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textsl{Tous les résultats pourront être obtenus à l'aide de calculatrice sans justification seront arrondis à deux décimales.}

Chaque trimestre l'INSEE publie la moyenne annuelle des quatre derniers indices trimestriels du coût de la construction des immeubles à d'habitation (base 100 au 4\up{e} trimestre 1953). Le tableau suivant donne ces moyennes pour les premiers trimestres des années 1995 à 1999.

\vspace{0,2cm}

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l | *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 					&1995 		&1996 			&1997 		&1998 			&1999\\ \hline
rang de l'année $x_i$ 		&1 			&2				&3			&4				&5\\ \hline
moyenne des indices $y_i$	&\np{1017}	&\np{1024,5}	&\np{1038}	& \np{1063,25} 	&\np{1065}\\  \hline
\multicolumn{6}{r}{{\scriptsize (\emph{Source : INSEE})}}\\ 
\end{tabularx}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de
cette série statistique. Un ajustement affine est-il envisageable ? Expliquer pourquoi.
\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine
de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
\item En supposant que l'évolution se poursuive de la même
façon, estimer la moyenne des indices prévisible au 1\up{er} trimestre 
2000.
\item Monsieur Dupont loue à monsieur Lejeune, \np{3000}~F par
mois, un studio à compter du 1\up{er} août 1999. Le contrat prévoit une
révision annuelle des loyers au 1\up{er} août : les loyers sont 
proportionnels aux moyennes des indices du coût de la construction du premier
trimestre de l'année (la moyenne des indices correspondant au loyer initial est \np{1065}).
 
Le propriétaire envisage de fixer le loyer à \np{3060}~F à compter du 1\up{er} août 2000.
Cette augmentation serait-elle conforme au contrat si l'on tient compte de la
moyenne des indices obtenue à la question 3 ?
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Madame $X$ décide de verser \np{5000}~F, chaque année, le 31 décembre, sur un compte en assurance-vie, à partir de l'année 1999. Toutes les sommes déposées sont rémunérées au taux annuel de 5\,\%, à intérêts composés, ce qui signifie que chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital le 31 décembre et produisent à leur tour des intérêts.
  
On désigne par $C_n (n$ entier positif ou nul) le capital, exprimé en
francs, dont Madame $X$ dispose sur son compte au 1\up{er} janvier de l'année ($2000 + n$). On a donc $C_0 = \np{5000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le capital acquis au $1\up{er}$  janvier 2001 est \np{10250}~F.
		 \item Établir que, pour tout entier $n$ positif ou nul :
$C_{n+1}  = 1,05 C_n + \np{5000}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $u_n = C_n + \np{100000}$ , pour $n$ entier
 positif ou nul. Établir une relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le
 premier terme. 
		\item Exprimer $(u_n)$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que $C_n = \np{105000} (1,05)^n - \np{105000}$.		 	\item En quelle année le capital acquis dépasse-t-il \np{200000}~F pour la première fois ? 
	\end{enumerate} 
\item On pose $S = \np{5000} + \np{5000}(1,05) + 
\np{5000}(1,05)^2 + \ldots +  \np{5000}(1,05)^{19} + \np{5000}(1,05)^{20}$.

Calculer la valeur exacte de $S$ et montrer que $S = C_{20}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0 ~; ~+\infty[$	par :

\[f(x) = x + 2 \dfrac{\text{e}^x - 1}{\text{e}^x + 1}\]

et on note $(\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2~cm).

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{A. Étude de \boldmath $f$ \unboldmath  sur \boldmath
$[0~;~+ \infty[$\unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f(x) = x + 2 - \dfrac{4}{\text{e}^x + 
1}$ puis déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = x + 2$ est
 asymptote à $(\mathcal{C}$) en $+ \infty$.
 
Étudier la position de  $(\mathcal{C}$) par rapport à $(D)$.
\item On désigne par $M$ le point de la courbe $(\mathcal{C}$) d'abscisse  $x$ et $N$ le point de $(D)$ de même abscisse $x$. La distance entre les points $M$ et $N$ est le nombre $MN = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$. Résoudre l'inéquation $MN < 10^{-1}$.

\item Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation
de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet dans
l'intervalle  $[0 ~;~ 1]$ une solution unique $x_0$ dont on déterminera un encadrement à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{B. Représentation de la courbe} \boldmath $(\mathcal{C})$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à 
$(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$.

\item Tracer $(T),~ (D)$ et la partie de la courbe $(\mathcal{C})$
correspondant aux points dont l'abscisse appartient à $[0 ~;~ 4]$. Faire figurer le point de la courbe d'abscisse $x_0$ sur le schéma.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{C. Primitive de} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~ ; ~ +\infty[$  par 
 
 \[g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $G$ de $g$ sur $[0~;~ +\infty[$.	
		\item Vérifier que $\dfrac{1}{\text{e}^x + 1} = 1 - g(x)$ sur $[0~;~+\infty[$.		
	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$,
 de la portion du plan délimitée par $(\mathcal{C}$), la droite $(D)$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis en donner l'arrondi à deux décimales.
\end{enumerate}
\end{document}