\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin  2001}}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Toutes les réponses aux questions posées devront être soigneusement
 justifiées}.
 
La courbe ($\mathcal{C}$) donnée sur l'annexe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur [- 3 ; 3] dans un repère orthogonal \Oij. La courbe ($\mathcal{C}$) vérifie les quatre conditions suivantes :

\setlength\parindent{6mm} 
$\bullet~$ elle passe par l'origine O du repère et par le point A(- 3 ; 9) ;

$\bullet~$ elle admet au point B d'abscisse 1 une tangente horizontale et elle  admet la droite (OA) pour tangente en 0.
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Quel est le coefficient directeur d la droite (OA) ?
\item L'un des trois schémas numérotés 1, 2 et 3 donnés en annexe est la représentation graphique de la fonction dérivée  $f'$ de la fonction $f$. Indiquez le numéro de ce schéma en précisant les raisons de votre choix.
\item On suppose que $f$ est définie sur $[- 3~;~3]$
 par :

\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d~ \text{où}\: a,\: b,\: c,\: d\: \text{ sont des 
réels.}\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer en utilisant les quatre conditions de départ que :
		
\[a = \dfrac{1}{3},\: b = 1,\: c = - 3,\: d = 0.\]

		\item On désigne par $f' $la fonction dérivée de la fonction $f$.
Factoriser $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[- 3~;~3]$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ a une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2] et déterminer l'arrondi à une décimale de $\alpha$.
 
\end{enumerate} 

\vspace{0.5cm}
 
\begin{center}
\psset{yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,11)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-4,-3)(4,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-3)(4,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0,10.5){\large \textbf{Annexe}}
\psline(-3,9)(1,-3) \psline[linewidth=1.2pt]{<->}(0.3,-1.667)(1.7,-1.667) \uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x  dup mul x mul 3 div 
x dup mul add x 3 mul sub }
\uput[d](0,-3){ Courbe ($\mathcal{C}$) de $f$}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}

\begin{pspicture}(-4,-5)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
  \uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1)(-2,-1.2)(-1,-1.68)(-0.5,-2.2)(0,-3)(1,-4)(2,-2.9)(3,2)
\end{pspicture}

Schéma 1

\vspace*{0,4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-5)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-3,-2)(0,-1)(1,0)(3,3)
\end{pspicture}

Schéma 2

\vspace{0,5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(4,13)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-5)(4,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x  dup mul x 2 mul add 3 sub}
\end{pspicture}

Schéma 3
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Pour tous évènements $A$ et $B$ on note  :

\medskip

\begin{itemize}
\item $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ ;
\item $P(A)$ la probabilité de l'évènement A ;
\item $P(A/B)$ ou $P_{B}(A)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
\end{itemize}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fraction 
irréductible.}

Un club de tennis comporte $500$ adhérents : $300$ hommes et $200$ femmes. Le
tennis en compétition est pratiqué par $90$ hommes et $40$ femmes. Les autres
adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir. On choisit au hasard un adhérent. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $H$ l'évènement : \og L'adhérent est un homme \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $F$ l'évènement : \og L'adhérent est une femme \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement : \og L'adhérent pratique la compétition \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les probabilités $P(H)$,
$P(F)$ et $P_{F}(C)$.
		\item Décrire l'évènement $C \cap F$ et calculer sa probabilité.
		\item Justifier l'égalité suivante : $P(C) = \dfrac{13}{50}$.
		\item L'adhérent choisi pratique la compétition. Quelle est la probabilité que cet adhérent soit une femme ?
 	\end{enumerate} 
 \item Chaque adhérent doit payer une cotisation annuelle de \np{3000}~F s'il pratique le tennis en compétition et de \np{2500}~F dans le cas contraire. De plus, pour la saison 2000-2001 une réduction exceptionnelle de 10\,\% est consentie aux femmes pratiquant la compétition.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au montant de la cotisation payée par l'adhérent choisi pour la saison 2000-2001.
 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Monsieur A emprunte \np{40000}~F à un taux de $5\,\%$. Il désire effectuer chaque année, à la date anniversaire de l'obtention du prêt, des remboursements
 constants de \np{6000}~F, sauf éventuellement la dernière année où le 
remboursement pourra être moindre. Ces \np{6000}~F comprennent le 
remboursement des intérêts sur le capital dû et un amortissement du 
capital.

\emph{Le but de l'exercice est de déterminer le nombre p d'années nécessaires pour effectuer le remboursement de ce prêt.}
 
Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $C_{n}$ le capital, exprimé en  francs, restant dû après le $n$-ième remboursement. On a donc :  
$C_{0} = \np{40000}$ et $C_{1} = \np{36000}$.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $C_{2}= 31\:800$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ tel que $0 \leqslant  n < p$, l'égalité suivante est vraie :
		 
\[C_{n+1} =   1,05C_{n} - \np{6000}.\]

	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ tel que  $0 \leqslant n < p$ on pose $U_{n} = C_{n} - \alpha$  où $\alpha$ est un  réel.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\alpha$ pour que les nombres $U_{n}$ soient les termes successifs d'une suite géométrique de raison $1,05$ dont on déterminera le premier terme.
		\item En déduire, dans ce cas, l'expression de $U_{n}$ en fonction  de $n$, puis celle de $C_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $C_{n} < \np{6000}$.
 
On appelle cet entier $n_{0}$. Calculer alors $C_{n_{0}}$, et le
montant du $(n_{0} + 1$)-ième remboursement. 

Quelle a donc été la durée $p$ du remboursement ? Quel est le montant du remboursement total ?
 (Les résultats seront arrondis au centime.)
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

$\star~$\textbf{Étude de deux fonctions}

\medskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0~;~+\infty[$	
par :

\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^x + 1}{3}\quad  \text{ et } \quad  g(x) = 
\dfrac{8}{2\text{e}^x - 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en 
+~$\infty$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
 Interpréter graphiquement ce résultat.
 		\item Étudier les variations de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\item On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ et par ($\Gamma$) celle de $g$, dans un repère orthonormal \Oij{} [unité graphique 2~cm].
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point I commun à  $(\mathcal{C})$ et à ($\Gamma$).
		\item Déterminer une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.
		\item Tracer (T), $(\mathcal{C})$ et ($\Gamma$) dans le repère 
\Oij. Faire figurer le point I sur le schéma.
\end{enumerate}

\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $g(x) = - 8 + 16\dfrac{\text{e}^x}{2\text{e}^x - 1}$ sur $[0~;~+\infty[$.
En déduire une primitive $G$ de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item On considère l'ensemble des points du plan situés entre 
($\Gamma$), l'axe $x'x$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 5$.
Hachurer sur le graphique cette partie du plan et calculer son aire en cm$^2$.
On en donnera une valeur exacte, puis l'arrondi du résultat à $10^{- 2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$\star~$ \textbf{Application économique}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \emph{ Prix d'équilibre}

Les fonctions $f$ et $g$ précédemment définies dans la \textbf{partie A} sont les fonctions d'offre et de demande de la vente d'un produit liquide sur un marché.

Plus précisément :

$\bullet~f(v)$ est le prix de vente unitaire proposé par les producteurs du  secteur pour un volume $v$ de ce produit ;

$\bullet~g(v)$ désigne le prix unitaire accepté par les consommateurs pour la
même quantité $v$ de ce produit.

Le volume $v$ est exprimé en m$^3$ et les prix en milliers de francs.
	\begin{enumerate} 
		\item Comment peut-on interpréter, d'un point de vue économique, le sens de variation de la fonction $g$ ?
 		\item Sur un marché en concurrence pure et parfaite, le prix $p_{0}$ qui se forme sur le marché correspond à l'égalité entre l'offre et la demande ; 
$p_{0}$ est le prix d'équilibre. Déterminer le volume $v_{0}$ correspondant du liquide arrondi à $10^{- 3}$, puis déterminer $p_{0}$.
\end{enumerate}
\item \emph{Surplus des consommateurs}
Tous les consommateurs qui étaient prêts à acheter à un prix supérieur au prix d'équilibre réalisent un gain fictif appelé surplus des consommateurs. 
On admet que ce gain est mesuré par 

$\text{S}_{c} = \displaystyle\int_{0}^{v_{0}} g(v)\:\text{d}v - p_{0}v_{0}$ en milliers de francs.
	\begin{enumerate} 
		\item Placer sur le graphique les points E($v_{0}$, 0) et F(0,~$ 
p_{0}$). Donner une interprétation graphique du surplus des consommateurs.
		\item Calculer une valeur exacte du surplus des consommateurs, puis  en donner l'arrondi au franc.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}