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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Polynésie juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du prix d'un paquet de 
café en francs au 31 décembre de l'année $1900 + n$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $n_i$ de l'année&70 	&80 &88 &94		&96		&98		& 99& 100\\ \hline
Prix $y_i$ en francs & 3	&5,5&10	&15,50	&19,30	&19,40	& 20& 21\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip

\textsl{Sauf autre précision, tous les résultats et coefficients 
demandés seront arrondis à} $10^{-3}$.

\medskip

\begin{center} \textbf{A -- Ajustement affine} \end{center}

\textsl{Le détail des calculs n'est pas demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter graphiquement le nuage.
 Que peut-on en  déduire ?
		\item Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation 
de la droite d'ajustement affine de $y$ en $n$.
	\end{enumerate}
\item En supposant que ce modèle mathématique reste valable jusqu'à l'an 2002,
donner une estimation du prix, en euros, arrondi au centime,  d'un paquet de
café au 31/12/2002. On rappelle qu'un euro vaut \np{6,55957}  francs.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{B -- Ajustement exponentiel} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Le détail des calculs n'est pas demandé.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant o\`u $z_i = 
\ln y_i$ (valeurs arrondies à $10^{-3}$).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n_i$	& 70	&80 	&  88	& 94	& 96	& 98	& 99 	&100 \\ \hline
$z_i$ 	& 1,099	&1,705 	& 2,303	& 		& 2,960 & 		& 		& \\\hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Représenter graphiquement le nuage. Que peut-on en  déduire ?
		\item Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation 
de la droite d'ajustement affine de  $z$ en $n$.
	\end{enumerate}
\item Déduire du \textbf{B 1 c} une expression de $y$ en fonction de $n$ de 
la forme $y = \alpha \cdot \beta^n$.

Cet ajustement est dit exponentiel.
\item En supposant que ce	modèle exponentiel reste valable jusqu'en 2002, donner une estimation du prix en euros, arrondi au centime, d'un paquet de café au 31/12/2002.
\item Quelle est la meilleure estimation du prix au 31/12/2002 d'un 
paquet de café ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un jeu consiste à lancer une première fois un dé à six faces :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si le joueur obtient un \og six \fg{}, il gagne 10 euros ;
\item s'il obtient un \og un \fg{}, un \og deux \fg{} ou un \og trois \fg{}, il ne gagne rien  et le jeu s'arrête ;
\item s'il obtient un \og quatre \fg{} ou un \og cinq \fg{}, le joueur lance le dé une deuxième fois ; 
\item s'il obtient un \og six \fg{}, il gagne alors 5 euros, sinon il ne gagne rien et le jeu s'arrête.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Pour participer à ce jeu, chaque joueur mise 2 euros.

Le \og gain \fg{} d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit à l'issue de la partie et sa mise ; un gain peut donc être négatif. Soit $G$ le  gain d'un joueur donné à chaque partie.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelles sont les valeurs prises par $G$ ?
\item Premier cas : le joueur joue avec un dé bien équilibré.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $p(G = 3) = \cfrac{1}{18}$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $G$, puis l'espérance 
mathématique de $G$. Ce jeu est-il à l'avantage du joueur ?
	\end{enumerate}
\item Deuxième cas : le joueur joue avec un dé pipé.

On note $p_i$ la probabilité d'obtenir la face marquée \og $i$ \fg{} 
pour $1 \leqslant  i \leqslant  6$.

On sait que $p_6$ est le double de $p_1$ et que $p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 
p_5$.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les valeurs de $p_i$ pour $1 \leqslant  i \leqslant  6$.
		\item Montrer alors que $p(G = 3) = \dfrac{4}{49}$
		\item Déterminer la loi de probabilité de $G$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le conseil municipal d'une station touristique de montagne a 
décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d'escalade.

L'équipement doit se faire depuis le pied de la falaise. Deux entreprises 
spécialisées dans ce genre de chantier ont été contactées et ont envoyé des devis.

On se propose d'étudier ceux-ci.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Devis de l'entreprise A :}

\medskip

Le premier mètre équipé coûte 20 \euro, puis chaque mètre 
supplémentaire équipé coûte 4 \euro{} de plus que le mètre précédent (20 \euro~ pour équiper une falaise de un mètre, 20 \euro{} + 24 \euro{} = 44~\euro{} pour équiper une falaise de deux mètres, 20~\euro{} + 24~\euro~ + 28~\euro~ = 72 \euro{} pour une falaise de trois mètres, etc.)

\bigskip

\textbf{Devis de l'entreprise B :}

\medskip

Le premier mètre équipé coûte 10~\euro{}, puis chaque mètre 
supplémentaire équipé coûte $5\,\%$ de plus que le mètre précédent (10 \euro~ pour 
équiper une falaise de un mètre, 10 \euro{} + 10,50 \euro{} = 20,50 \euro~ pour équiper une falaise de deux mètres, 10~\euro{} + 10,5~\euro{} + 11,025~\euro{} =  31,525~\euro{} pour une falaise de trois mètres, etc.).

\vspace{0,25cm}

On appelle $u_n$ le prix du $n$-ième mètre  équipé et $S_n$ le prix de l'équipement d'une falaise de $n$ mètres de hauteur indiqués par l'entreprise A.

On appelle $v_n$ le prix du $n$-ième mètre équipé et $R_n$ le prix 
de l'équipement d'une falaise de $n$ mètres de hauteur indiqués par 
l'entreprise B.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Exprimer $u_n$ puis $S_n$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $v_n$ puis $R_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer le prix à payer pour équiper une falaise de 50 mètres de hauteur avec chacune des deux entreprises. Préciser l'entreprise la moins chère. On arrondira les prix à l'euro près.
\item Le conseil municipal a décidé d'accorder un budget de \np{24000} \euro{} pour équiper ce site. Calculer la hauteur de la falaise qui peut 
être équipée avec cette somme par chacune des deux entreprises A et B (arrondir 
au mètre près).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} 	\hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A -- Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle I $= [0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 0,4x + \text{e}^{-0,4x + 1}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan muni 
d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm en abscisse, 4~cm en ordonnée).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = 0,4x$ est asymptote à 
la courbe ($\mathcal{C}$).
		\item Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite (D).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre sur l'intervalle I l'inéquation 
suivante :

\[1 - \text{e}^{-0,4x + 1} > 0.\]

		\item À l'aide de la question précédente, étudier les variations 
de la fonction $f$ sur I.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. En déduire le signe de 
$f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la tangente (T) à ($\mathcal{C}$) au point
 d'abscisse 0  passe par le point B(2,5~;~1).
		\item Construire $(\mathcal{C})$, (D) et (T).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Application économique}

\medskip

Soit $x$ le nombre d'objets, exprimé en centaines, fabriqués par 
une usine, $f(x)$ est leur coût total, exprimé en milliers d'euros, On 
suppose que $x$ appartient à l'intervalle J $= [2,5~;~+ \infty[$.

Chaque objet est vendu 5 euros pièce.

On suppose que la fabrication est vendue dans sa totalité.

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer la recette $R(x)$, en milliers d'euros, en fonction du nombre $x$ de centaines d'objets fabriqués.
		\item Construire, sur le graphique précédent, la courbe 
représentative ($\Delta$) de la fonction $R$ traduisant cette recette.
		\item Vérifier graphiquement que ($\Delta$) et ($\mathcal{C}$) se coupent en un seul point, On désigne par $\alpha$ l'abscisse de ce point ; en donner une valeur approchée à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le bénéfice, noté $B(x)$, s'exprime en milliers 
d'euros par :

\[B(x) = 0,1x - \text{e}^{-0,4x + 1}.\]

		\item Quel est, en euros, le bénéfice obtenu en fabriquant \np{1000} ~objets ? On donnera une valeur arrondie à l'euro.
		\item Calculer $B(x)$ et étudier le sens de variation de $B$ sur 
$[2,5~;~+ \infty[$.
		\item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet une solution 
unique sur J appartenant à [2,5~;~10].

Montrer que cette solution est le nombre $\alpha$ défini dans la 
question \textbf{1 c}.

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

		\item En déduire le nombre entier minimum d'objets à produire 
pour réaliser un bénéfice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}