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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center}
{\Large  \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  septembre 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des crêpes salées et des crêpes sucrées.

 Chaque client achète une seule crêpe.
 
60\,\% des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).

Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80\,\% choisissent une crêpe sucrée.

On appelle :

$D$ l'évènement : \og le client est venu à l'heure du déjeuner \fg.

$A$ l'évènement : \og le client achète une crêpe salée \fg.

On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à $0,62$.

\emph{On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés.}

\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements $D$ et $\overline{D}$.
\item  \begin{enumerate}
\item Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ?
\item Calculer $P\left(A \cap \overline{D}\right)$.
\item En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P\left(A \cap  D\right)$.
\item Un client vient à l'heure du déjeuner ; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à $0,9$.
\end{enumerate}
\item Un client a acheté une crêpe salée ; quelle est la probabilité, à $0,01$ près, qu'il soit venu l'après-midi ?
\item On vend 3~euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit $250$~clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpes ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Pour chacune des cinq propositions ci-dessous, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $x \mapsto  \text{e} + \dfrac{1}{5}$ est la fonction dérivée de la fonction $x \mapsto  \text{e}x + \ln 5$.
\item  L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\left(\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x + 4\right) = 0$ est : $S = \{0\}$.
\item Si $\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)^n \leqslant  0,7$ alors  $n \geqslant \dfrac{\ln 0,7}{\ln 0,99}$.
\item L'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation $\ln \left(x^2 + 4x + 3\right) = \ln(5x+ 9)$ est $S = \{-2~;~3\}$.
\item La limite quand $x$ tend vers 1, $x < 1$, de la fonction $x \mapsto \ln \left(\dfrac{\sqrt{1 - x}}{2}\right)$	est $0$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

 On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty [$ et on note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item  On sait que $(\mathcal{C})$ passe par le point E(0~;~1) et qu'elle admet au point d'abscisse $0$ une tangente horizontale. En déduire $f(0)$ et $f'(0)$.
\item  Vérifier que $f'(x) = (- ax + a - b)\text{e}^{-x}$
\item  En utilisant les résultats précédents, déterminer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par : 

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Vérifier que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{1}{\text{e}^x}$.
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item  En déduire que $(\mathcal{C})$ possède une asymptote dont on précisera une équation.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$.
\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~+\infty[$ puis dresser le tableau de variations complet de $f$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) =  0,5$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~4].
\item  Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item  On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = -(x + 2)\text{e}^{-x}$.

Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item  Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième du résultat.

(Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est égale à $\left.\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b  f(x)\:\text{d}x\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise produit $q$ milliers de pièces par jour, $q$ étant un réel de [0~;~4].

Le prix de revient d'une pièce, exprimé en euros, dépend de $q$ et est donné par l'expression :

\[f(q) = (q + 1)\text{e}^{-q}.\]

\smallskip
	
\begin{enumerate}
\item  Combien coûte, en moyenne, à l'euro près, la production de \np{4000} pièces ?
\item  À partir de quelle quantité de pièces produites le prix de revient d'une pièce est-il inférieur à $0,5$~euro ?
\end{enumerate}
\end{document}