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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small  juin 1996}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique: 2 cm).
 
On considère la parabole $\Pi$ d'équation $y = x^2$, et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter $\Pi$ et $\Delta$, quand $x$ appartient à l'intervalle $[- 2~;~+ 2]$. 
\item Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 	x^2\:\text{d}x$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\Delta$ coupe $\Pi$ en deux points, A, d'abscisse positive, et B, d'abscisse négative.
		 
On note C et D les points de l'axe des abscisses tels que ABCD soit un rectangle.
 
Dessiner ce rectangle, et calculer son aire, en cm$^2$. 
		\item On note P la partie du plan comprise entre le segment [AB] et la parabole $\Pi$.
		 
Calculer, en cm$^2$, l'aire de P. 
		\item Vérifier que l'aire de P est égale aux deux tiers de l'aire de ABCD. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un vendeur d'adoucisseurs d'eau a l'intention de proposer deux de ses produits (modèle \emph{simple} et modèle \emph{haut de gamme}) dan un lotissement nouvellement construit. 
Une enquête a montré que 20\,\% des foyers se déclarent intére-- 
és par l'achat d'un adoucisseur. 

L'expérience du vendeur lui a appris que, parmi les foyers se déclarant intéressés, 50\,\% achètent le modèle \emph{simple}, 40\,\% le modèle \emph{haut de gamme}, les autres renonçant finalement à l'achat. 
On nomme :
 
$I$ l'évènement: \og le foyer est intéressé \fg{} ;
 
$A$ l'évènement: \og le foyer achète le modèle \emph{simple} \fg{} ; 

$B$ l'évènement: \og le foyer achète le modèle \emph{haut de gamme} \fg{} ;
 
$C$ l'évènement: \og le foyer renonce à l'achat \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements $I \cap A, I \cap B, I \cap C$. 
\item Montrer que la probabilité pour qu'un foyer pris au hasard n'achète pas d'adoucisseur est égale à $0,82$. 
\item Le vendeur envisage de fixer le prix du modèle \emph{simple} à \np{4000}~F et celui du \emph{haut de gamme} à \np{8000~}~F. 

On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme (éventuellement nulle) versée au vendeur par un foyer visité au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique. 
		\item Pour que son bénéfice soit suffisant, l'espérance de gain du vendeur devrait être de \np{1300}~F pour un foyer visité. S'il veut vendre le modèle \emph{simple} à moitié prix du modèle \emph{haut de gamme}, comment doit-il modifier ses prix ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite  définie par $u_{0} = 7$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 6}{5}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}, u_{2},  u_{3}$. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = u_{n} - 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, et en déduire que : 
$u_{n} = 5\left(\dfrac{2}{5} \right)^n + 2$ 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

La fonction $g$ est définie, sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$, par :  

\[g(x) = \dfrac{2x}{\text{e}} - 1 - \ln  x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. 
		
Étudier son signe, et, en déduire le sens de variation de $g$. 
		\item Calculer la limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
(On pourra écrire : 

$\left. g(x) = x \left[\dfrac{2}{\text{e}} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}\right]\right)$. 
		\item Calculer $g\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et $g\left(\dfrac{\text{e}}{2}\right)$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $g$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(\text{e})$ et justifier que $g(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant \text{e}$. 
		\item Montrer que $g$ s'annule sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~\dfrac{\text{e}}{2}\right]$ pour une valeur unique que l'on notera $\alpha$.
		 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{- 2}$.
	\end{enumerate} 
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij (unité graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 4~cm sur l'axe des ordonnées). 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $g$. Placer, en particulier, les points d'abscisses $\alpha$ et e. 
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation : $g(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  
La fonction f est définie, sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$, par : 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}} - x \ln x.\] 

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f'(x) = g(x)$. 

En déduire le tableau de variation de $f$. 
\item Justifier que $f$ est positive ou nulle sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~ + \infty \right[$. On ne demande pas de représenter graphiquement $f$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
La fonction $g$ représente le chiffre d'affaires marginal d'une entreprise, en fonction du nombre de ses employés. C'est la dérivée de la fonction correspondant au chiffre d'affaires exprimé en francs.
 
Déterminer ce chiffre d'affaires, sachant qu'il est nul pour un employé.
\end{document}