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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 1997}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie  septembre 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous, dans lequel $x_{i}$ est le nombre annuel de mariages en milliers et $y_{i}$ le nombre annuel de divorces (également en milliers), donne l'évolution des mariages et des divorces en France de 1977 à 1986 : 

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&1977	&1978	&1979	&1980	&1981	&1982 	&1983	&1984	&1985	&1986\\ \hline 
$x_{i}$	&368	& 355	&340	&334	&315	&312	&300	&281	& 269& 266\\ \hline 
$y_{i}$	&71 	&74 	&78 	&81 	&86 	&92 	&97 	&102 	&106 &107\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Exemple de lecture : en 1979 il y a eu \np{340000}~mariages et \np{78000} divorces (nombres arrondis au millier).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal, en graduant l'axe des abscisses à partir de $265$ et l'axe des ordonnées à partir de $71$ -- unités graphiques : 1 cm pour 5 milliers en abscisse, 1 cm pour 2 milliers en ordonnée, 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnés du point moyen G du nuage et le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ au centième près. Quel type d'ajustement peut-on envisager ? 
		\item Donner une équation de la droite de régression $y= ax + b$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira $a$ au centième et $b$ à l'unité.
		
\textbf{N. B.} : Le détail des calculs n'est pas demandé, 
		\item Tracer la droite de régression sur la figure utilisée pour le nuage de points, 
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que le nombre de divorces en 1988 était de \np{140000}, à quelle estimation du nombre de mariages conduit la méthode précédente pour cette même année 1988? 
		\item En réalité le nombre des mariages a été de \np{271000}. À quelle erreur l'estimation conduit-elle ? Exprimer cette erreur en pourcentage de la valeur réelle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\medskip

Soit X la variable aléatoire, pouvant prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4, dont la fonction de répartition $F$, définie par $F(x) = p(X \leqslant x)$ (c'est-à-dire probabilité de l'évènement : \og $X \leqslant x$ \fg), est représentée graphiquement par la figure ci-dessous : 

\begin{center}

\psset{xunit=2cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1](0,0)(5,1)
\multido{\n=0.0+0.1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(5,\n)}
\psline{[-[}(1,0.2)(2,0.2)
\psline{[-[}(2,0.3)(3,0.3)
\psline{[-[}(3,0.666)(4,0.666)
\psline{[-[}(4,1)(5,1)
\uput[l](0,0.666){$2/3$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,0.666)(3,0.666)
\end{pspicture}

\end{center}

Exemple : La probabilité que $X \leqslant  2,7$ est $0,3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité de l'évènement: \og $X = 4$ \fg{} est égale à $\dfrac{1}{3}$, puis donner, à l'aide de fractions irréductibles, et sans justifications, la loi de probabilité de $X$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'espérance mathématique de $X$ puis une valeur approchée par défaut à $10^{-3}$ près de l'écart type de $X$. 
\item On dispose de deux urnes :
 
l'urne $A$ qui contient : 3 boules noires et 2 boules blanches ; 

l'urne $B$ qui contient : 3 boules noires et 4 boules blanches.

Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
 
On considère l'expérience suivante :

\begin{itemize}
\item lorsque $X$ prend la valeur 4, on tire une boule au hasard de l'urne $A$ 
\item lorsque $X$ ne prend pas la valeur 4, on tire une boule au hasard de l'urne $B$.
\end{itemize}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item En traduisant les conditions de l'énoncé, expliciter les probabilités des évènements suivants :
		 
tirer une boule blanche sachant que $X = 4$ ;

tirer une boule blanche sachant que $X \neq 4$. 

En déduire la probabilité de l'évènement: \og $X = 4$ \fg{} et on tire une boule blanche \fg. 
		\item Déterminer la probabilité de tirer une boule blanche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} : On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles,

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie dans $\R$ par : 

\[f(x) = 3x + 2 - \text{e}^{3x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item En écrivant $f(x) = 3x\left(1 + \dfrac{2}{3x} - \dfrac{\text{e}^{3x}}{3x}\right)$ pour $x \neq 0$, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. étudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$. 
		\item Démontrer que sur [0~;~1] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$. 
		\item Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant (formé à l'aide de valeurs décimales approchées à $10^{-2}$ près) :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\tiny\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
$x$	   &$- 2$	 & $- 1$ &$- 0,7$&$- 0,5$&$- 0,4$&$- 0,3$&$- 0,2$&$- 0,1$& 0	&0,3	&0,4	&0,7	& 1\\ \hline 
$f(x)$ &$- 4,00$ &$-1,05$&		 &0,28	 &		 &		 &		 &		 &		&0,44	&$-0,12$&$-4,07$&\tiny $-15,09$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
En déduire un encadrement de $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées). On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans ce plan.
 
Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 3x + 2$ est asymptote à la courbe $\Gamma$ lorsque $x$ tend vers $ - \infty$. 

étudier la position relative de $\Delta$ et $\Gamma$.
 
Tracer $\Delta$, puis $\Gamma$, pour $x$ dans l'intervalle $[-2~;~0,7]$. 
\item Déterminer le point A de $\Gamma$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y = 2x$.
 
Représenter, sur la figure précédente, le point A et la tangente en A à $\Gamma$. 
\item On considère l'ensemble des points du plan situés entre $\Gamma$ et $\Delta$ et entre les droites d'équations $x = - 0,5$ et $x = 0.$
 
Hachurer cette partie du plan, sur la figure précédente.
 
Calculer son aire, en unités d'aire (on donnera la valeur exacte, puis une va- 
leur décimale approchée à $10^{-1}$ près), 
\end{enumerate}
\end{document}