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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
   
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1998~\decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous représente la dette extérieure en pourcentage 
du PIB pour la Belgique (PIB : Produit Intérieur Brut).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$  années &1975& 1976	& 1977 	&1978	&1979	& 1980	&1981	&1982	&1983	&1984	&1985\\ \hline 
$y_{i}$  dette en \%
 du PIB 		&0,2 &0,1 	&0,1 	&0,5 	&1,8 	&4,5 	& 11,0	& 16,6	&20,1	& 23,2	&21,2\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{\footnotesize{Source : CEE Eurostat Monnaies et Finances 
1987}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points 
associés à cette série statistique en choisissant des unités graphiques 
adaptées.
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique : le
résultat sera lu sur la calculatrice et arrondi à $10^{-2}$ près.
\item On veut déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindre carrés.
 
Caractériser cette droite par une équation de la forme $y = mx + p$ où 
$m$ est l'arrondi à $10^{-4}$ près et $p$ l'arrondi à $10^{- 1}$ près des valeurs lues sur la calculatrice.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Utiliser la question précédente pour prévoir la dette extérieure de la Belgique, en pourcentage du PIB en 1986.
		\item La valeur réelle atteinte en 1986 est égale à 20,6. À quelle 
erreur, en pourcentage de la valeur réelle, l'estimation conduit-elle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill 5 points}

\medskip

Un patineur participe à une compétition. Deux de ses sauts 
l'inquiètent. Il ne réussit le premier saut que dans 95\,\% des cas. Comme il est émotif, s'il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième 3 fois sur 10 ; sinon, si tout va bien lors du premier saut, il réussit le deuxième dans 90\,\% des cas.

On notera $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement 
$A$.

Soit $R_{1}$ l'évènement : \og le patineur réussit le premier saut \fg.

Soit $R_{2}$ l'évènement : \og le patineur réussit le deuxième saut \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{1}$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement  sachant que $R$, est 
réalisé.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{2}$ sachant que $R_{1}$
n'est pas réalisé.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement : \og~le patineur réussit les deux sauts~\fg. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de 
l'évènement $R_{2}$.
		\item Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le 
deuxième saut. Calculer la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier saut.
	\end{enumerate}
\item Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre $0,2$ point ; le règlement prévoit que les pénalités s'ajoutent.
 
Soit $X$ la variable aléatoire donnant le total des pénalités obtenues 
par ce patineur lors de la compétition.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Quelle interprétation peut-on en faire ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On prendra pour
unité graphique 1 cm sur chaque axe. Soit $f$ la fonction définie 
sur $\R$ par :

\[f(x) = (2,5 + x) \text{e}^{-0,5x + 1}.\]

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

\textbf{I.} Étude de la fonction $f$.

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de $f$. 
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 
-~\infty} f(x).$ 
\item Vérifier que pour tout réel 
$x,~ f(x) = \dfrac{2,5}{\text{e}^{-0,5x + 1}} + 2\text{e} \times 
\dfrac{ 0,5x}{\text{e}^{-0,5x}}.$

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty}\: f(x).$ 
\item Dresser le tableau de variation de $f$. Tracer sa représentation graphique dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II.} Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) =  0,3x + 1$.

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item Construire dans le même repère \Oij{} la représentation graphique de $g$. 
\item On veut résoudre dans l'intervalle [0; 10]
l'équation $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $f(x) - g(x) = 0$.
 
Pour cela on pose, pour tout $x$ de [0 ; 10], $h(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les résultats obtenus à la question 
\textbf{1.}, montrer que, pour tout $x$ de [0 ; 10], ~$h'(x)$ est strictement
négatif.
		\item En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet dans [0 ; 10] une solution 
unique que l'on notera~$\alpha$.
		\item Par lecture graphique, encadrer $\alpha$ à l'aide de deux nombres 
entiers consécutifs.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

\textbf{I.} On considère un produit pour lequel, en fonction du prix unitaire $p$ (en francs), la demande est donnée par $f(p)$ et l'offre par $g(p)$ ($p$ appartient à [0~;~10]).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner le prix d'équilibre 
c'est-à-dire celui pour lequel l'offre est égale à la demande.
\item Vérifier que, pour un prix de $3,10$~F, si le prix augmente de 1\,\%, la demande diminue de 1\,\% environ.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} La fonction E est définie sur l'intervalle [0~;~10] par E($x) = x \dfrac{f'(x)}{f(x)}$.

En économie, $E$ désigne l'élasticité de $f$.

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que, pour tout $x$ de [0~;~10], $E(x) = \dfrac{ - 0,5x^2 - 0,25x}{x + 2,5}$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans [0~;~10] l'équation : $E(x) = - 1$.
		\item Donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ par défaut de la solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}