\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstcol} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 1998}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 1998~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip Le tableau ci-dessous représente la dette extérieure en pourcentage du PIB pour la Belgique (PIB : Produit Intérieur Brut). \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ années &1975& 1976 & 1977 &1978 &1979 & 1980 &1981 &1982 &1983 &1984 &1985\\ \hline $y_{i}$ dette en \% du PIB &0,2 &0,1 &0,1 &0,5 &1,8 &4,5 & 11,0 & 16,6 &20,1 & 23,2 &21,2\\ \hline \multicolumn{12}{r}{\footnotesize{Source : CEE Eurostat Monnaies et Finances 1987}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points associés à cette série statistique en choisissant des unités graphiques adaptées. \item Donner le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique : le résultat sera lu sur la calculatrice et arrondi à $10^{-2}$ près. \item On veut déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindre carrés. Caractériser cette droite par une équation de la forme $y = mx + p$ où $m$ est l'arrondi à $10^{-4}$ près et $p$ l'arrondi à $10^{- 1}$ près des valeurs lues sur la calculatrice. \item \begin{enumerate} \item Utiliser la question précédente pour prévoir la dette extérieure de la Belgique, en pourcentage du PIB en 1986. \item La valeur réelle atteinte en 1986 est égale à 20,6. À quelle erreur, en pourcentage de la valeur réelle, l'estimation conduit-elle ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill 5 points} \medskip Un patineur participe à une compétition. Deux de ses sauts l'inquiètent. Il ne réussit le premier saut que dans 95\,\% des cas. Comme il est émotif, s'il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième 3 fois sur 10 ; sinon, si tout va bien lors du premier saut, il réussit le deuxième dans 90\,\% des cas. On notera $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$. Soit $R_{1}$ l'évènement : \og le patineur réussit le premier saut \fg. Soit $R_{2}$ l'évènement : \og le patineur réussit le deuxième saut \fg. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{1}$. \item Calculer la probabilité de l'évènement sachant que $R$, est réalisé. \item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{2}$ sachant que $R_{1}$ n'est pas réalisé. \end{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement : \og~le patineur réussit les deux sauts~\fg. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $R_{2}$. \item Un spectateur, arrivé en retard, voit le patineur réussir le deuxième saut. Calculer la probabilité qu'il ait aussi réussi le premier saut. \end{enumerate} \item Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre $0,2$ point ; le règlement prévoit que les pénalités s'ajoutent. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le total des pénalités obtenues par ce patineur lors de la compétition. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Quelle interprétation peut-on en faire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 1 cm sur chaque axe. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = (2,5 + x) \text{e}^{-0,5x + 1}.\] \medskip \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} \textbf{I.} Étude de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de $f$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -~\infty} f(x).$ \item Vérifier que pour tout réel $x,~ f(x) = \dfrac{2,5}{\text{e}^{-0,5x + 1}} + 2\text{e} \times \dfrac{ 0,5x}{\text{e}^{-0,5x}}.$ En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty}\: f(x).$ \item Dresser le tableau de variation de $f$. Tracer sa représentation graphique dans le repère \Oij. \end{enumerate} \bigskip \textbf{II.} Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 0,3x + 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Construire dans le même repère \Oij{} la représentation graphique de $g$. \item On veut résoudre dans l'intervalle [0; 10] l'équation $f(x) = g(x)$, c'est-à-dire $f(x) - g(x) = 0$. Pour cela on pose, pour tout $x$ de [0 ; 10], $h(x) = f(x) - g(x)$. \begin{enumerate} \item En utilisant les résultats obtenus à la question \textbf{1.}, montrer que, pour tout $x$ de [0 ; 10], ~$h'(x)$ est strictement négatif. \item En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet dans [0 ; 10] une solution unique que l'on notera~$\alpha$. \item Par lecture graphique, encadrer $\alpha$ à l'aide de deux nombres entiers consécutifs. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} \textbf{I.} On considère un produit pour lequel, en fonction du prix unitaire $p$ (en francs), la demande est donnée par $f(p)$ et l'offre par $g(p)$ ($p$ appartient à [0~;~10]). \medskip \begin{enumerate} \item Donner le prix d'équilibre c'est-à-dire celui pour lequel l'offre est égale à la demande. \item Vérifier que, pour un prix de $3,10$~F, si le prix augmente de 1\,\%, la demande diminue de 1\,\% environ. \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} La fonction E est définie sur l'intervalle [0~;~10] par E($x) = x \dfrac{f'(x)}{f(x)}$. En économie, $E$ désigne l'élasticité de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de [0~;~10], $E(x) = \dfrac{ - 0,5x^2 - 0,25x}{x + 2,5}$. \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans [0~;~10] l'équation : $E(x) = - 1$. \item Donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ par défaut de la solution. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}