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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie septembre 2002~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textsl{On peut traiter la question} 4 \textsl{sans avoir traité les 
questions précédentes.}

\medskip

Pour un achat immobilier, lorsqu'une personne emprunte une somme
de \np{50000}~euros, remboursable par $n$ mensualités chacune égale à
$A$ euros, pour un intérêt mensuel de $0,4\,\%$, le montant de cette 
mensualité $A$ est donné par : 

\[A = \dfrac{200}{1 - (1,004)^{-n}}\]

(\textsl{on ne demande pas d'établir cette relation}). 	

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la mensualité $A$ lorsque cette personne emprunte
\np{50000}~euros remboursables par 120 mensualités pour un intérêt mensuel de 
$0,4\,\%$. On donnera une valeur arrondie au centime d'euro.

Calculer alors le montant total des intérêts pour ce prêt.
\item Mêmes questions avec un emprunt de 50 000 euros sur 8 ans à
$0,4\,\%$ mensuel.
\item Afin de payer le moins d'intérêts possible, l'emprunteur doit augmenter
 le montant de la mensualité et diminuer la période de remboursement. Mais il
 ne peut supporter au maximum que des remboursements de 950 euros par mois.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $[0~;~ +\infty[$ l'inéquation

\[\dfrac{200}{1-(1,004)^{-x}} \leqslant 	 950.\]

		\item En déduire le nombre entier $n$ minimum de mensualités pour lequel le montant de la mensualité $A$ est inférieur ou égal à 950 euros.

Que vaut alors $A$ arrondi au centime d'euro ? Calculer alors le montant
total des intérêts.
	\end{enumerate}
\item Voici des extraits du tableau d'amortissement d'un prêt de
\np{50000}~euros remboursable par 60 mensualités pour un intérêt de
$0,4\,\%$.

Calculer, en détaillant, les nombres $a,~ b,~ c,~ d$ et $e$ qui figurent dans le tableau.

On donnera des valeurs arrondies au centime d'euro.

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
\No de la&	Montant de la&Part des intérêts en euros&	Capital 
amorti&	Capital restant\\
mensualité&	mensualité en euros&	pour cette mensualité&	en euros&	à rembourser 
en euros\\ \hline\hline
1&	938,99&	200,00&	738,99&	\np{49261,01}\\ \hline
2&	938,99&	197,04&	$a$&	$b$\\ \hline
3&	938,99&	$c$&	$d$&	$e$\\ \hline
4&	938,99&	191,10&	747,89&	\np{47026,26}\\ \hline
$\bullet$&$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$&	$\bullet$\\ \hline
59&	938,99&	7,47&	931,52&	935,25\\ \hline
60&	938,99&	3,74&	935,25&	0\\ \hline
\end{tabular} \end{center}}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un stock de champignons est constitué de trois variétés de champignons conditionnés en barquettes.
Ces barquettes proviennent exclusivement de France ou d'Italie.

Ce stock est composé à $50\,\%$ de barquettes de cèpes, à $30\,\%$ de barquettes de girolles et à $20\,\%$ de barquettes de morilles.

$15\,\%$ des barquettes de cèpes proviennent d'Italie.

$20\,\%$ des barquettes de girolles proviennent d'Italie.

$40\,\%$ des barquettes de morilles proviennent d'Italie.

On choisit une barquette de ce stock au hasard.

On notera les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $C$ : \og La barquette choisie contient des cèpes \fg{} ;
\item $G$ : \og La barquette choisie contient des girolles \fg{} ;
\item $M$ : \og La barquette choisie contient des morilles \fg{} ;
\item $I$ : \og La barquette choisie provient d'Italie \fg{} ;
\item $F$ : \og La barquette choisie provient de France \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
\begin{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité que la barquette choisie contienne des
cèpes et provienne de France ? 
\item Montrer que la probabilité que la barquette choisie provienne
d'Italie est $0,215$.
\item Quelle est la probabilité que la barquette choisie contienne des
cèpes sachant que cette barquette provient d'Italie ? On donnera une
valeur arrondie à $10^{-3}$.
\item La barquette choisie provient de France. Quelle est la probabilité
que ce soit une barquette de girolles ? On donnera une valeur arrondie à
$10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le taux d'équipement en magnétoscope des
couples avec enfant(s) d'une certaine région française de 1980 à 2000
tous les quatre ans.

Dans ce tableau, $x_i$ représente l'expression : $\dfrac{a_i - 1980}{4}$.

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année $a_i$				&1980	&1984	&1988	&1992	&1996	&2000\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année	&0		&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
Taux $y_i$ en \%		&5		&8		&24		&50		&77		&88\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

Par exemple, $5\,\%$ des couples avec enfant(s) de cette région possède un
magnétoscope en 1980.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\textbf{Ajustement affine}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm
par rang d'année sur l'axe des abscisses et 1~cm pour $10\:\%$ sur l'axe des
ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique
$\left(x_i~;~y_i\right)$. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et placer celui-ci sur le graphique précédent.
\item Dans toute cette question, aucun détail des calculs n'est demandé Les résultats pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice; ils seront arrondis à $10^{-2}$.

Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue
par la méthode des moindres carrés.

Représenter cette droite sur le graphique précédent.

On suppose que le modèle obtenu à la \textbf{question 3} reste valable pour les années suivantes.

Déterminer, par le calcul, en quelle année ce taux dépassera $95\:\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\textbf{Ajustement logistique}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{100}{1 + k\text{e}^{bx}}.\]

où $k$ et $b$ sont des constantes à déterminer.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer par le calcul les valeurs exactes de $k$ et $b$ pour que la courbe représentative de $f$ passe par les points M(0~;~5) et N(3~;~50).

Donner une valeur de $b$ arrondie à l'unité.
\item Dans toute cette question, on pose : 

\[f(x) = \dfrac{100}{1 +  19\text{e}^{-x}}\]

et on admettra que $f(x)$ représente le taux d'équipement en magnétoscope des couples avec enfant(s) de cette région pour l'année de rang $x$.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la droite d'équation $y = 100$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ au voisinage de  $+ \infty$. 
Déterminer la position de la courbe représentative de $f$ par rapport à cette 
asymptote.
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que $f'(x)$ est du signe de $\text{e}^{-x}$.

En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau 
de variations de $f$. 
	\item Tracer la courbe représentative de $f$ sur le graphique de la 
\textbf{partie A}.
	\item Résoudre l'inéquation : $f(x) \geqslant  95$. Interpréter ce résultat en terme de taux d'équipement. 
	\item Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$, on a $f(x)~=~ 
\dfrac{100\text{e}^{x}}{19 + \text{e}^{x}}$.
	\item En déduire une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\item On assimile le taux moyen d'équipement prévisible avec ce modèle
logistique entre les années 2000 et 2008 à la valeur moyenne de la 
fonction $f$ sur [5~;~7].

Calculer ce taux moyen d'équipement prévisible entre les années 2000 et 2008. On en donnera une valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}