\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp,mathrsfs}
\usepackage{slashbox}
% Corrigé de Madame Ducruc
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat ES Polynésie juin 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats.} 

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes quatre réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
% 
%Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une seule réponse est acceptée. 

%\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cet exercice sera ramenée à zéro.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative dans un repère orthogonal d'une fonction $g$ définie sur $]2~;~+\infty[$. Si $\displaystyle\lim_{x \to 2} g(x) = +\infty$ alors : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ 
%\item[$\bullet~$] La droite d'équation $y= 2$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ 
%\item[$\bullet~$] La droite d'équation $x= 2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ 
%\item[$\bullet~$] La droite d'équalion $x = 2$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
La droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
\item %Pour tout nombre réel $x,~\ln \left(4\text{e}^x\right)$ est égal à :

%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $x + \ln 4$ 
%\item[$\bullet~$] $4+x$ 
%\item[$\bullet~$] $2x$ 
%\item[$\bullet~$] $4x$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
$\ln \left(4\text{e}^x\right) = \ln 4 + \ln \left(\text{e}^x \right) = \ln 4 + x$. 
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des réels $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$  et soit $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$. Alors : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $f'(x) = -x^2\text{e}^{-x^2}$    
%\item[$\bullet~$] $f'(x) = -2x\text{e}^{-x^2}$   
%\item[$\bullet~$] $f'(x) = \text{e}^{-2x}$   
%\item[$\bullet~$] $f'(x) =  \text{e}^{-x^2}$  
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
La fonction est sous la forme $\text{e}^u$ dont la dérivée est ?$u'\text{e}^u$ ; ici, $u(x) = - x^2$ d'où $u'(x) = - 2x$ et donc  $f'(x) = - 2x\text{e}^{-x^2}.$
\item  %$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{1 - \ln x}$
est égale à : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $- \infty$
%\item[$\bullet~$] $0$
%\item[$\bullet~$] e
%\item[$\bullet~$] $+ \infty$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
On a une fonction composée : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln x= + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \ln x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{x}= 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{1 - \ln x} = 0.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}  

\medskip
 
%Le tableau suivant donne l'évolution du marché des capteurs solaires installés en France métropolitaine entre 2000 et 2007.

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007\\ \hline 
%Rang de l'année : $x_{i},~ 1 \leqslant i \leqslant 8$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline   
%Surface de capteurs solaires installés en milliers de m$^2 : y_{i},~ 1 \leqslant i \leqslant 8$&6 &18 &23 &39 &52 &121 &220 &253\\ \hline 
%\multicolumn{9}{l}{Source : ENERPLAN (\emph{Association professionnelle de l'énergie solaire})}
%\end{tabularx}

%\medskip
% 
%L'objectif gouvernemental est d'atteindre un marché d'un million de m$^2$ en 2010. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le pourcentage d'augmentation de la surface des capteurs solaires installés entre les années 2006 et 2007.
On calcule $\dfrac{253}{220} = 1,15$ ce qui correspond à une augmentation de 15\:\%. 
		\item %Si ce pourcentage reste le même d'année en année jusqu'en 2010. l'objectif gouvernemental sera-t-il atteint ?
En 2010, on aurait avec ce rythme $253 \times 1,15^3 \approx 384,781$ soit environ \np{384781}~m$^2$ ; l'objectif ne serait donc pas atteint 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item ~%Sur une feuille de papier milimétré,  représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)~;~1 \leqslant i \leqslant 8$, dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2~cm pour une année en abscisse et en ordonnée 1~cm pour 20~milliers de m$^2$ de capteurs solaires installés).
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.05cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,260)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=20](0,0)(8,260)
\psdots(0,6)(1,18)(2,23)(3,39)(4,52)(5,121)(6,220)(7,253)
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linecolor=orange](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+10}{27}{\psline[linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
		 
%La forme du nuage suggère de faire un ajustement exponentiel.
\bigskip

%Pour cela on pose $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$. 
 
	\item %Après l'avoir recopié, compléter le tableau suivant où les valeurs $z_{i}$ seront arrondies au centième.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang de l'année : $x_{i},~1 \leqslant i \leqslant 8$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right),~ 1 \leqslant i \leqslant 8$& 1,79&2,89&3,14&3,66&3,95&4,8&5,39&5,53\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\item %En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au centième.
	La calculatrice livre : $z = 0,52x + 2,06$. 
	\item %On suppose que l'évolution se poursuit de cette fa\c{c}on jusqu'en 2010.
	 
%À l'aide de cet ajustement exponentiel, estimer en m$^2$ la surface de capteurs solaires installés en 2010. 
Pour $x = 10,~z = 7,26$ ; or $z = \ln (y)$, donc $y = \text{e}^{7,26} \approx \np{1422,257}$ : l'objectif est atteint.
%Si l'évolution se poursuit selon ce modèle, l'objectif gouvernemental sera-t-il atteint ? 
 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}  

\medskip

%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : 

%\[u_{0} = 8 \quad  	\text{et  pour tout entier naturel}~  n, u_{n+1} =  0,85u_{n} + 1,8. \]

\begin{enumerate}
\item %Sur une feuille de papier millimétré construire un repère orthonormé (unité  1~cm), où l'axe des ordonnées est placé à gauche de la feuille. 
	\begin{enumerate}
		\item  ~%Dans ce repère, tracer les droites d'équations respectives $y = 0,85x + 1,8$ et $y = x$.
\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(13,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=20]{->}(0,0)(13,13)
\psplot[linecolor=blue]{0}{13}{0.85 x mul 1.8 add}
\psplot[linecolor=red]{0}{13}{x}
\psline[linestyle=dashed]{->}(0.8,0)(0.8,2.48)\uput[d](0.8,0){$u_{0}$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(0.8,2.48)(2.48,2.48)\uput[d](2.48,0){$u_{1}$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(2.48,2.48)(2.48,3.908)\uput[d](3.908,0){$u_{2}$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(2.48,3.908)(3.908,3.908)\uput[d](5.1218,0){$u_{3}$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(3.908,3.908)(3.908,5.1218)
\psline[linestyle=dashed]{->}(3.908,5.1218)(5.1208,5.1208)
\psline[linestyle=dashed](2.48,2.48)(2.48,0)
\psline[linestyle=dashed](3.908,3.908)(3.908,0)
\psline[linestyle=dashed](5.1208,5.1208)(5.1208,0)
\psline[linestyle=dashed](12,12)(12,0) \uput[d](12,0){12}
\end{pspicture}
\end{center}		

\bigskip		
		 
	\item %Dans ce repère placer $u_{0}$ sur l'axe des abscisses puis, en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. On laissera apparents les traits de construction.
Voir la figure ci-dessus.	 
	\item %À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Le graphique montre que la limite de la suite est voisine de 12. 
	\end{enumerate}
\item %Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 12$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
$v_{n} = u_{n} - 12 \Rightarrow v_{n+1} = u_{n+1} - 12 = 0,85u_{n} + 1,8 - 12 = 0,85u_{n} - 11,2 = 0,85\left(u_{n} - 12 \right) = 0,85v_{n}.$

Conclusion : $v_{n+1} = 0,85v_{n}$ ce qui montre que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme : $v_{0} = u_{0} - 12 = 8 - 12 = - 4$
	\item %Exprimer, pour tout entier naturel $n,~v_{n}$ en fonction de $n$.
On a donc : $v_{n} = v_{0} \times 0,85^n = - 4 \times 0,85^n.$	
%En déduire que, pour tout entier naturel $n,~u_{n} = 12 - 4 \times 0,85^n $.
De $v_{n} = u_{n} - 12$ il résulte que $u_{n} = v_{n} + 12 = 12 - 4 \times 0,85^n$. 
	\item %Donner le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$. En déduire celui de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	On a $v_{n+1} - v_{n} = 0,85v_{n} - v_{n} = - 0,15v_{n}$.
	Comme $v_{0} < 0$ et $0,85 > 0$, tous les termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ sont négatifs, donc $-0,15v_{n} > 0$ et finalement $v_{n+1} - v_{n} > 0$, ce qui signifie que la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
	
Comme $u_{n+1} - u_{n} = v_{n+1} + 12 - \left(v_{n} + 12\right) = v_{n+1} + 12 - v_{n} - 12 = v_{n+1} - v_{n} > 0$, comme on vient de le voir.

La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
	\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$).
	Comme $-1 < 0,85 < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,85^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 12$, ce qui confirme la conjecture précédente.
	\end{enumerate} 
\item %Un magazine est vendu uniquement par abonnement. On a constaté que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  il y a \nombre{1800}~nouveaux abonnés chaque année ; 
%\item d'une année sur l'autre, 15\:\% des abonnés ne se réabonnent pas. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%En 2008, il y avait \nombre{8000}~abonnés.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'abonnés en $(2008 + n)$.
En milliers d'abonnés soit $w_{n}$ la suite du nombre d'abonnés l'année $2008 + n$.

On a $w_{0} = 8$ et $w_{n+1} = (1 - 0,15)w_{n} + 1,8 = 0,85w_{n} + 1,8$.

On a donc $w_{n} = u_{n}$ pour tout naturel $n$.		 		
		\item %En utilisant la question 2. b., calculer une estimation du nombre d'abonnés en 2014.
		D'après la question 2. b. le nombre d'abonnés en 2014 = 2008 + 6 est :
		
$u_{6} = 12 - 4 \times 0,85^6  \approx \nombre 10,4914$.

En 2014 il y aura environ \nombre{10491} abonnés. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats.}

%\medskip
% 
%Dans un laboratoire, se trouve un atelier nommé \og L'école des souris \fg. Dès leur plus jeune âge,  les souris apprennent à effectuer régulièrement le même parcours. Ce parcours est constitué de trappes et de tunnels que les souris doivent emprunter pour parvenir à croquer une friandise. Plus la souris effectue le parcours, plus elle va vite. 

%Une souris est dite \og  performante \fg{} lorsqu'elle parvient à effectuer le parcours en moins d'une minute.
% 
%Cette \og école \fg{} élève des souris entraînées par trois dresseurs :

% 48\:\%  des souris sont entraînées par Claude,  16\:\% par Dominique et les autres par Éric.
%  
%Après deux mois d'entraînement,  on sait que : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item parmi les souris de Claude 60\:\% sont performantes ; 
%\item 20\:\% des souris de Dominique ne sont pas encore performantes ; 
%\item parmi les souris d'Éric, deux sur trois sont performantes. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On choisit au hasard une souris de cette \og école \fg.
% 
%On note $C,~ D,~ E$ et $P$ les évènements suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item C : \og  la souris est entraînée par Claude \fg{} ; 
%\item D : \og  la souris est entraînée par Dominique \fg{} ; 
%\item E : \og  la souris est entraînée par Éric \fg{} ; 
%\item P : \og  la souris est performante \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $p(C),~p(E),~ p_{D}\left(\overline{P}\right)$ et $p_{E}(P)$.
On a $p(C) = 0,48,~p(E) = 1 - 0,48 - 0,16 = 0,36$.
		
$p_{D}\left(\overline{P}\right) = 0,2$ et $p_{E}(P) = \dfrac{2}{3}.$ 
	\item ~%Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\psset{unit=1cm}
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$C$}\taput{0,48}}
	  { 
		  \TR{$P$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{P}$}\tbput{0,4}	   
	  }
	\pstree{\TR{$D$}\tbput{0,16}}
	  {
		  \TR{$P$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{P}$}\tbput{0,2} 
	  }
	\pstree{\TR{$E$}\tbput{0,36}}
	  {
		  \TR{$P$}\taput{$\frac{2}{3}$}
		   \TR{$\overline{P}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
	  }	
}
\end{center} 
\bigskip

	\end{enumerate} 
\item %Déterminer la probabilité de l'évènement \og  la souris est entraînée par Claude et est performante \fg.
La probabilité cherchée est : $p(C \cap P) = 0,48 \times 0,6 = 0,288$. 
\item %Démontrer que la probabilité pour  une souris d'être performante est de $0,656$. 
D'après la loi des probabilités totales :

$p(P) = p(C \cap P) + p(D \cap P) + p(E \cap P) = 0,288 + 0,16 \times 0,8 + 0,36 \times \dfrac{2}{3} = 0,656$. 
\medskip

%\emph{Pour les questions suivantes, on arrondira les résultats au millième.}
 
\item %On choisit au hasard une souris parmi celles qui sont performantes.
 
%Quelle est la probabilité que cette souris soit entraînée par Dominique ?
On cherche $p_{P}(D) = \dfrac{p(P \cap D)}{p(D)} = \dfrac{0,128}{0,656} \approx 0,195$. 
\item %\emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte.}
 
%On choisit maintenant au hasard quatre souris de cette « école ». 

%On assimile ce choix à un tirage avec remise.
 
%Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une souris performante ? 
On reconna\^{\i}t  un schéma de Bernoulli.

L'évènement contraire de \og au moins une souris est performante \fg{} est \og les quatre souris ne sont pas performantes \fg, la probabilité de ce dernier évènement est :

$\left[p\left(\overline{P} \right) \right]^4 = (1 - 0,656)^4 = 0,344^4 \approx 0,986$.

La probabilité d'obtenir au moins une souris performante est d'environ $0,986$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats.}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthogonal. 

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par
% 
%\[f(x) = 2x(1 - \ln x).\]

% On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $0$ (on rappelle que la limite en $0$ de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
$\bullet~$ En $+ \infty$ : on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \ln x = - \infty$ ainsi que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \ln x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x = + \infty$ d'où finalement par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x(1 - \ln x) = - \infty$.

$\bullet~$ En $0$ :	On a $f(x) = 2x - 2 \times x \ln x$ : comme chaque terme a pour limite zéro, on a $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.	
%		$u(x) = x\ln x$ est $0$). 
	\item %Déterminer $f'(x)$ pour $x \in  ]0~;~+\infty[$ (où $f'$ est la fonction dérivée de $f$).
	On a $f(x) = u(x) \times v(x)$, avec $u(x) = 2x$ et $v(x) = 1 - \ln x$.
	
	Donc $f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) = 2(1 - \ln x) + 2x \times \left(- \dfrac{1}{x} \right) = 2 - 2\ln x - 2 = - 2\ln x$. 
	\item %Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x \in  ]0~;~+\infty[$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
On sait que si $0 < x < 1,~\ln x < 0$, donc $f'(x) > 0$ ; 

Si $1 < x,~\ln x > $, donc $f'(x) < 0$. D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3)
\psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.2,0)(1.2,2.5)
\uput[u](0.5,2.5){$x$}\uput[u](1.15,2.5){0} \uput[u](4,2.5){1} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$-$} 
\rput(0.5,1){$f(x)$}\rput(4,2.25){$0$}
\uput[u](1.3,0){0}\uput[d](4,2){2}\uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\psline{->}(1.5,0.4)(3.5,1.7)\psline{->}(4.5,1.7)(6.5,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip  
	\end{enumerate}
\item %Résoudre sur $]0~;~+\infty[$  l'équation $f(x) = 0$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'intersection A avec l'axe des abscisses et donner les coordonnées du point A.
$f(x) = 0 \iff 2x(1 - \ln x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0$, car sur $]0~;~+ \infty[,~2x > 0$.

Donc  $f(x) = 0 \iff  1 = \ln x \iff \ln \text{e} = \ln x \iff \text{e} = x$.

La courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'intersection A avec l'axe des abscisses et A$(\text{e}~;~0)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre, par un calcul, l'inéquation $f(x) \geqslant  0$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Sur $]0~;~+\infty[,~ f(x) \geqslant  0 \iff 2x(1 - \ln x) > 0$.

Un produit de facteurs est positif si les deux facteurs sont de même signe ; or sur $]0~;~+\infty[,~2x > 0$ : les deux facteurs ne peuvent être tous les deux négatifs.

Donc $f(x) \geqslant  0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2x & > &0\\
\text{et}&&\\
1 - \ln x &> &0
\end{array}\right. \iff 1 > \ln x \iff \ln \text{e} > \ln x  \iff x < \text{e}$.

Conclusion $f(x) > 0 \iff 0 < x < \text{e}$		 
%Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
Géométriquement ceci signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de l'axe des abscisses entre O et A.
	\item %Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = x^2\left(\dfrac{3}{2} - \ln x\right)$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
Sur $]0~;~+\infty[$, la fonction $F$ est dérivable et :

$F'(x) = 2x\left(\dfrac{3}{2} - \ln x \right) + x^2\left(- \dfrac{1}{x} \right) = 3x - 2x\ln x - x = 2x - 2x\|n x = 2x(1 - \ln x)$.

Donc $F$est bien une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
	 
	\item  %On désigne par $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
On a vu à la question précédente que pour $x < \text{e},~f(x) > 0$, donc l'aire de la surface $\mathcal{D}$ est égale (en unité d'aire) à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = [F(x]_{1}^{\text{e}} = F(\text{e})	 - F(1) = \text{e}^2\left(\dfrac{3}{2} - \ln \text{e} \right) - 1\left(\dfrac{3}{2} - \ln 1 \right) = \dfrac{\text{e}^2}{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{\text{e}^2 - 3}{2}$.
\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-1)(4,2.5)
\uput[ur](2.718,0){A}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0.7}{3.1}{1 x ln sub x mul 2 mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{1}{2.71828}{1 x ln sub x mul 2 mul}
\psline(2.71828,0)(1,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,-1)(4,2)
\rput(1.7,0.85){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}

\medskip

%Calculer en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de $\mathcal{D}$ puis, en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
On a $\mathcal{A}(\mathcal{D}) \approx 2,19$~u. a. (ce que confirme approximativement la figure). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}