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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 1999}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G.~\decofourright\\Pondichéry  avril 1999}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des téléphones mobiles avec deux options possibles ajoutées au modèle standard que l'on notera option A ou option B.
 
Sur un échantillon de \np{1000}~commandes une étude statistique a fait apparaître les résultats suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 20\,\% des commandes sont faites avec l'option A ; 
\item parmi les commandes avec option A, 15\,\% ont aussi l'option B ; 
\item parmi les commandes sans option A, 4\,\% ont l'option B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de commandes& avec option A& sans option A& Total\\ \hline 
avec option B&&&\\ \hline 
sans option B&&&\\ \hline 
Total&&& \np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item On prend une commande au hasard dans l'échantillon. On définit les évènements suivants :
 
$A$ : la commande comprend l'option A ;

$B$ : la commande comprend l'option B ; 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ puis la probabilité de l'évènement $B$.  
		\item Définir par une phrase les évènements $A \cap B$ et $A \cup B$, puis calculer la probabilité de ces deux évènements. 
		\item Soit l'évènement $C$ : la commande comporte une et une seule option. Déterminer la probabilité de l'évènement $C$.
	\end{enumerate} 
\item On choisit une commande au hasard parmi les commandes avec option A de l'échantillon.
 
Soit l'évènement $E$ : la commande ne comprend pas l'option B. Déterminer la probabilité de l'évènement E. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip 

Un hôtel veut renouveler une partie de son équipement. Il faut changer au moins $72$~coussins, $48$~rideaux et $32$~jetés de lit.
 
Deux ateliers de confection font des offres par lots:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item l'atelier Idéa : un lot de 12 coussins, 4 rideaux et 4 jetés de lit pour un montant de \np{2000} F. 
\item l'atelier Rénov : un lot de 6 coussins, 6 rideaux et 2 jetés de lit pour un montant de \np{1500} F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On notera $x$ le nombre de lots Idéa achetés et $y$ le nombre de lots Rénov achetés.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les contraintes du problème portant sur $x$ et $y$ sont traduites par un système d'inéquations équivalent au système (S) suivant : 

\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant&0\\ 
y&\geqslant&0\\ 
2x + y&\geqslant&12\\ 
2x + 3y&\geqslant&24\\ 
2x + y &\geqslant& 16
\end{array}\right.\] 

\item Résoudre graphiquement le système $(S)$ dans un repère orthonormal (unité : 1~cm).
 
Hachurer l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées ne vérifient pas le système $(S)$ en expliquant votre démarche pour l'une des inéquations. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la dépense occasionnée par l'achat de $x$ lots Idéa et $y$ lots Rénov. 
		\item Montrer que l'ensemble des couples $(x~;~y)$ occasionnant la dépense $D$ sont les coordonnées des points d'une droite $\left(\Delta_{D}\right)$ dont on donnera une équation sous la forme $y = ax + b$. 
		\item Tracer la droite $\left(\Delta_{D}\right)$ dans le cas particulier où $D = \np{24000}$~F.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement le nombre de lots de chaque type à acheter pour obtenir une dépense minimale. Calculer cette dépense minimale.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip
 
On donne la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 2x + 1 - x \ln x\]

et sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité : 1~cm) ; voir ci-après. La droite (AB) est tangente au point A(1~;~3). Le point C$\left(\text{e}^2~;~1\right)$ appartient à la courbe, le point K(0~;~1) n'appartient pas à la courbe, B a pour coordonnées (0~;~2).

\bigskip
 
\textbf{Partie A}
 
\textbf{Étude graphique}

\medskip 
Les questions de cette partie A ne seront pas résolues par le calcul mais uniquement par lecture graphique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1)$, le nombre dérivé de $f$ en $1$. 
\item Résoudre $f(x) > 1$. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $1$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}
 
\textbf{Étude de } \boldmath$f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(x) = x(2 - \ln x) + 1$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. 
		\item Résoudre $1 - \ln x > 0$. En déduire le signe de $f'$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} 

\textbf{Étude de points particuliers}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les images exactes des réels $\frac{1}{\text{e}},\: \sqrt{\text{e}},\: \text{e},\: \text{e}^2$. 
\item Reproduire et compléter le tableau. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&8	&8,1 	&8,2 	&8,3 	&8,4 	&8,5\\ \hline
$f(x)$	&	&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
On donnera les valeurs arrondies à $10^{- 2}$ près.
 
Donner, en le justifiant, un encadrement d'amplitude $10^{- 1}$ de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$. 
\item Trouver une équation de la tangente au point d'abscisse e$^2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C} 

\textbf{Détermination d'une primitive}

\medskip
\begin{enumerate}
\item On donne la fonction $G$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[G(x) = \dfrac{x^2}{2} \left(\ln x - \dfrac{1}{2} \right).\]

Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x \ln x$.
\item Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Calculer, en centimètres carrés, l'aire du domo	une  plan limité par la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}^2$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(11,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
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\uput[ul](0,1){K}\uput[ul](0,2){B}\uput[ul](1,3){A}\uput[ur](7.4,1){C}
\uput[d](7.39,0){$\text{e}^2$}
\uput[d](10.9,0){$x$}\uput[l](0,4.9){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}