\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{array} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès merci à Arié Yallouz \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES/L } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small 15 avril 2013} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry~\decofourright\\15 avril 2013}} \end{center} Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. IL est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \text{e}^{- x^2}$ est une primitive de la fonction $f$ définie par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{A :}\quad $f(x) = - x\text{e}^{- x^2}$ &\textbf{B :}\quad $f(x) = - 2x\text{e}^{- x^2}$\\ \textbf{C :}\quad $f(x) = x\text{e}^{- x^2}$ &\textbf{D :}\quad $f(x) = \text{e}^{- 2x}$\\ \end{tabularx} \medskip \item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (7x - 23)\text{e}^{x}$. L'équation $h(x) = 0$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{A :}\quad a pour solution $2,718$ &\textbf{B :}\quad a une solution sur $[0~;~+\infty[$\\ \textbf{C :}\quad a deux solutions sur $\R$ &\textbf{D :}\quad a une solution sur $]-\infty~;~ 0]$\\ \end{tabularx} \medskip \item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 3\text{e}^{3x}\:\text{d}x$. On peut affirmer que : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{A :}\quad $I = \text{e}^{3} - 1$ &\textbf{B :}\quad $I = 3\text{e}^{3} - 3$ \\ \textbf{C :}\quad $I = 19,1$ &\textbf{D :}\quad $I = 1 - \text{e}^{3}$.\\ \end{tabularx} \medskip \item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^3 - 9x$ est convexe sur l'intervalle : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{A :}\quad $]- \infty~;~+\infty[$ &\textbf{B :}\quad $[0~;~+\infty[$\\ \textbf{C :}\quad $]- \infty~;~0]$ &\textbf{D :}\quad $[- 3~;~3]$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L.} \medskip Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires. L'enquête révèle que 55\,\% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95\,\% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10\,\% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants : \medskip \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $L$ : l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ; \item $C$ : l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. \item Calculer $P(L \cap C)$ la probabilité de l'évènement $L \cap C$. \item Montrer que $P(C) = \np{0,5675}$. \item Calculer $P_{C}(L)$, la probabilité de l'évènement $L$ sachant l'évènement $C$ réalisé. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$. \item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que $X$ suit une loi binomiale. \begin{enumerate} \item Préciser les paramètres de cette loi binomiale. \item Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$. \item Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \bigskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment} \medskip On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,4) \psdots[dotscale=1.25](0,1.5)(1.3,3.5)(2,0.1)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(6,2.5) \uput[u](0,1.5){A} \uput[u](1.3,3.5){B} \uput[d](2,0.1){C} \uput[u](3,2.2){D} \uput[u](4.5,3.5){E} \uput[d](5,0.1){F} \uput[r](6,2.5){G} \psline(0,1.5)(1.3,3.5)(4.5,3.5)(6,2.5)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(2,0.1)(3,2.2)(2,0.1)(1.3,3.5)(0,1.5) \psline(6,2.5)(5,0.1)(3,2.2)(1.3,3.5) \psline(0,1.5)(2,0.1) \end{pspicture} \end{center} \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne. \item Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui donner un tel cycle. \item Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$. Les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique : A, B, C, D, E, F, G. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Une région est munie d'un réseau de trains, représenté par le graphe $\Gamma$ ci-dessous. Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.5,4) \psdots[dotscale=1.25](0,1.5)(1.3,3.5)(2,0.1)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(6,2.5) \uput[u](0,1.5){A} \uput[u](1.3,3.5){B} \uput[d](2,0.1){C} \uput[u](3,2.2){D} \uput[u](4.5,3.5){E} \uput[d](5,0.1){F} \uput[r](6,2.5){G} \psline(0,1.5)(1.3,3.5)(4.5,3.5)(6,2.5)(3,2.2)(4.5,3.5)(5,0.1)(2,0.1)(3,2.2)(2,0.1)(1.3,3.5)(0,1.5) \psline(6,2.5)(5,0.1)(3,2.2)(1.3,3.5) \psline(0,1.5)(2,0.1) \rput(0.6,2.7){4} \rput(1.4,1.8){7} \rput(1,0.6){8} \rput(2.2,2.9){18} \rput(2.4,1.3){10} \rput(3,3.7){21} \rput(3.7,3.1){15} \rput(4.2,2.5){31} \rput(4,1.4){12} \rput(3.5,0.2){25} \rput(4.9,1.8){10} \rput(5.35,3.1){17} \rput(5.6,1.2){7} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G. Justifier la réponse grâce à un algorithme. \item Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip Le 1\up{er} janvier 2000, un client a placé \np{3000}~\euro{} à intérêts composés au taux annuel de 2,5\,\%. On note $C_{n}$ le capital du client au 1\up{er} janvier de l'année $2000 + n$, où $n$ est un entier naturel. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$. Arrondir les résultats au centime d'euro. \item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation : \[C_{n} = \np{3000} \times 1,025^n.\] \item On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{l |l|}\cline{2-2} \textbf{Entrée}& Saisir un nombre $S$ supérieur à \np{3000}\\ \cline{2-2} \textbf{Traitement}& Affecter à $n$ la valeur $0$.\quad \emph{Initialisation} \\ &Affecter à $U$ la valeur \np{3000} \quad \emph{Initialisation} \\ &\\ &Tant que $U \leqslant S$\\ &\qquad $n$ prend la valeur $n + 1$\\ &\qquad $U$ prend la valeur $U \times 1,025$\\ &Fin tant que\\ \cline{2-2} \textbf{Sortie}&Afficher le nombre $2000 + n$\\\cline{2-2} \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Pour la valeur $S = \np{3300}$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5} Valeur de $n$& $0$& $1$&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5} Valeur de $U$& \np{3000}&&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5} Condition $U \leqslant S$ &vrai&&\dotfill& \\ \cline{1-3}\cline{5-5} \end{tabularx} \medskip \item En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est \np{3300}. \item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ supérieur à \np{3000}. \end{enumerate} \item Au 1\up{er} janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de \np{5000}~\euro. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date. \item Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1\up{er} janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par $10$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.} \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] par \[f(x) = 1 - (x + 1)\text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = x\text{e}^{- x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~6]. Déterminer une valeur arrondie de $\alpha$ à $0,01$. \item On admet que la fonction $F$ définie sur [0~;~6] par $F(x) = x + (x + 2)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f$ sur [0~;~6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $I = \displaystyle\int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie A pour $x$ compris entre 0 et 6. $x$ représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit. $f(x)$ représente la production journalière de batteries en milliers. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra $0,5$ millier soit $500$~unités. \item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-3}$ de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. \end{enumerate} \textbf{PARTIE C} \medskip Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de $200$~km. Sur un parcours joignant une ville située à 160~km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance $\mu = 200$ et d'écart-type $\sigma = 40$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? \item La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à $0,01$ ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \end{document}