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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 16 avril 2015} 
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry 16 avril 2015~\decofourright}} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\medskip

L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables
et des clés USB.\index{probabilités}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs vendus, 5\,\% ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2\,\% ont aussi un disque dur défectueux.
\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5\,\% ont un disque dur défectueux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.

Suite à l'achat en ligne d'un ordinateur :

\medskip

\emph{Proposition} 1

La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à $0,08$ à $0,01$ près.

\medskip

\emph{Proposition} 2

La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à \np{0,0485}.

\medskip

\emph{Proposition} 3

Sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur
était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à $0,02$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO,
exprimée en heure, suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart-type $\sigma = 2$.\index{loi normale}

\medskip

\emph{Proposition} 4

La probabilité que l'ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10~h est inférieure à
$0,2$.

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant
que 98\,\% des clés commercialisées fonctionnent correctement.

Sur \np{1000} clés prélevées dans le stock, $50$~clés se révèlent défectueuses.\index{intervalle de confiance}

\medskip

\emph{Proposition} 5

Ce test, réalisé sur ces \np{1000} clés, ne remet pas en cause la communication de l'entreprise.\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En
juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.

Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s’attend à perdre 8\,\% des colonies durant l’hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d’installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l’algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}& $n$ est un nombre entier naturel\\
						&$C$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement :}	& Affecter à $C$ la valeur 300\\
						&Affecter à $n$ la valeur 0\\
						&Tant que $C < 400$ faire\\
						&\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|l}
$C$ prend la valeur $C - C \times 0,08 + 50$\\
$n$ prend la valeur $n+1$
\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
Les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{2cm}|}\hline		
\textbf{Test} $C < 400$	&  	&vrai	&	&\ldots \\ \hline
\textbf{Valeur de} $C$	&300	&326	&	&\ldots \\ \hline
\textbf{Valeur de} $n$	&0		&1		&	&\ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
	\end{enumerate}
\item  On modélise l’évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l’année $2014 + n$. Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014.\index{suite}
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
		\item On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$.
		
Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times  0,92^n$.
		\item Combien de colonies l’apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?
	\end{enumerate}
\item L’apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien
d’années il lui faudra pour atteindre cet objectif.
	\begin{enumerate}
		\item Comment modifier l’algorithme pour répondre à sa question ?
		\item Donner une réponse à cette question de l’apiculteur.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois
sites peut, à toutes les minutes, soit y rester soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d'utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,2.
\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,4.
\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,2 mais il n'y a pas de lien direct avec B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

L'unité de temps est la minute, et à un instant $t = 0$, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : $100,\: 0$ et $0$.

On représente la distribution des internautes sur les trois sites après $t$ minutes par une matrice $N_t$; ainsi $N_0 = \begin{pmatrix}100& 0& 0\end{pmatrix}$.

On suppose qu'il n'y a ni déconnexion pendant l'heure (de $t = 0$ à $t = 60$) ni nouveaux
internautes visiteurs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation
décrite.
\item Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe (dans l'ordre A, B, C).\index{matrice}
\item On donne

\[M^2 = \begin{pmatrix}0,42& 0,22& 0,36\\0,19& 0,27& 0,54\\0,28& 0,04& 0,68\end{pmatrix}
\quad \text{et} \quad M^{20} \approx \begin{pmatrix}
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\end{pmatrix}.\]

Calculer $N_2$. Interpréter le résultat obtenu.
\item Calculer $N_0 \times  M^{20}$. Conjecturer la valeur de l'état stable et interpréter la réponse.
\item Un des internautes transmet un virus à tout site qu'il visitera.

Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l'instant $t = 0$, le site C est donc infecté.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 1$ le site A soit infecté ?
		\item Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 2$ les trois sites soient infectés ?\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 3 \hfill 4 points} 
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = - 2(x + 2)\text{e}^{- x}.\]\index{fonction exponentielle}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(- 1)$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item Justifier que $f'(x) = 2(x + 1)\text{e}^{- x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée}
\item En déduire les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbes $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ont été représentées.

L'une de ces courbes représente la fonction $f$, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la
fonction $f$.\index{représentation graphique}\index{convexité}

Indiquer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

\begin{center}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.55cm}

\begin{pspicture*}(-2.5,-6.5)(7,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-3,-6.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.5,-6.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{7}{x 2 add 2 mul  2.71828 x exp div neg}\uput[d](1,-0.75){\red $\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{7}{2 x mul 2 add 2.71828 x exp div}\uput[u](1,1.5){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{7}{2 x mul 2.71828 x exp div neg}
\uput[d](1,-2.2){$\mathcal{C}_3$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points} 
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.

Sa capacité mensuelle de production est comprise entre \np{1000} et \np{30000} pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne ci-dessous $R$ et $C$ les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l'intervalle [1~;~30].

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(31,530)
%
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psset{gridcolor=cyan,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5}
\psgrid[yunit=50\psyunit](0,0)(! 31 \space 500 50 div)
%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(0,0)(31,520)
\psplot{1}{30}{12.5 x mul}\uput[d](26.5,325){$R$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{ x dup mul 0.5 mul 6.5 x mul add 20 add x 2 mul x ln mul sub}\uput[u](26.5,375){\blue $C$}
\uput[u](26,-10){\footnotesize nombre  de pièces en milliers}
\uput[r](0,520){\footnotesize milliers d'euros}
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production de \np{21000} pièces?
\item Pour quelles quantités de pièces produites l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
\item Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le bénéfice en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces, est donné sur l'intervalle [1~;~30] par 

\[B(x) = - 0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln x.\]\index{fonction logarithme népérien}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $B'(x) = -x + 8 + 2\ln x$, où $B'$ est la dérivée de $B$ sur l'intervalle [1~;~30].\index{dérivée}
\item  On admet que $B''(x) = - 1 + \dfrac{2}{x}$, où $B''$ est la dérivée seconde de $B$ sur l'intervalle [1~;~30].

Justifier le tableau de variation ci-dessous  de
la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~30].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.1,1.9){$1$}\uput[u](4,1.9){$2$}\uput[u](6.75,1.9){$30$}
\rput(0.5,1){$B'(x)$}\uput[u](1.1,0){7}\uput[d](4,2){$6 + 2\ln 2$}\uput[u](6.1,0){$- 22 + 2 \ln 30$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~30].
		\item Donner une valeur approchée au millième de la valeur de $\alpha$.
 	\end{enumerate}
\item  En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice $B$ sur ce même intervalle.
\item  Quel est le nombre de pièces à produire, à l'unité près, pour que l'entreprise réalise un
bénéfice maximal ?
	
Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros) ?\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}
\end{document}