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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small juin 1997}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry  juin 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur les 700 salariés d'une usine, 140 sont des cadres, les autres sont des ouvriers.
 
Des stages sont organisés :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Chaque salarié participe à un stage au plus. 
\item 9\,\% des salariés partent en stage.
\item 10\,\% des ouvriers partent en stage.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Un salarié est choisi au hasard :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier ?
		\item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier partant en stage ? 
		\item Quelle est la probabilité que ce soit un cadre partant en stage  ?
	\end{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de cadres partant en stage ? 
\item Le stage dure 10 jours pour un ouvrier, et 8 jours pour un cadre. On définit la variable aléatoire $X$ égale au nombre de jours de stage suivis par un salarié de l'usine. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$ ?
		\item Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate} \end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
Dans un carnet de santé, on peut lire le poids moyen d'un enfant de sa naissance à 12 ans.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2,5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline
Âge en années $x_{i}$& 0 &1 &2 &4 &7 &11 &12\\ \hline 
Poids en kg $y_{i}$& 3,4 &7 &10,5 &14,5 &20,5 &33 &37,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Aucun calcul manuel n'est demandé.
 
Dans cet exercice les résultats seront donnés à $10^{- 1}$ près.
 
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour 1~année en abscisse, 1~cm pour 2~kg en ordonnée).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de point~s associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
		\item Déterminer et représenter le point moyen de cette série.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. 
		
Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $y$ en $x$ est-il envisageable ? Pourquoi ?
		\item Donner alors une équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$. La tracer sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement, en expliquant votre raisonnement, à partir de quel âge le poids moyen d'un enfant dépasse 25~kg. 
		\item Retrouver ce résultat par le calcul en utilisant l'équation de $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par 

\[f(x) = \text{e}^{\left(- \frac{x^2}{8} + x\right)}\]

et on note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1 cm).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item $f'$ étant la fonction dérivée de $f$, déterminer $f'(x)$, étudier son signe, en déduire le tableau de variation de $f$. 
\item Tracer (C).

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une action est introduite en bourse à l'instant $t = 0$. On suppose que la cote de l'action, exprimée en centaines de francs, est : 

\[g(t) = f(t) + \text{e}\]
 
où $t$ (exprimé en mois) appartient à l'intervalle [0~;~12] et e est le réel tel que $\ln \text{e}= 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $g(t)$ en fonction de $t$.
\item En utilisant les résultats de la partie A, donner le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~12].
\item À quel instant la cote de l'action est-elle maximale ? Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de cette cote.
\item Un gestionnaire prudent décide de revendre son action lorsque la cote de celle-ci retombe en dessous de sa valeur initiale. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de la cote de l'action à l'instant $t = 0$.
		\item Pour quelle autre valeur de $t$ l'action retrouve-t-elle cette cote ? Justifier la réponse par le calcul.
	\end{enumerate}
\item Donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de $g(11)$. En déduire que, pour tout $t$ tel que $11 \leqslant t \leqslant 12$, la cote de l'action est strictement inférieure à $275$~F. 
\end{enumerate}

Sur les 700 salariés d'une usine, 140 sont des cadres, les autres sont des 
ouvriers.

Des stages sont organisés :
r
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Chaque salarié participe à un stage au plus.
\item 9\,\% des salariés partent en stage. 
\item 10\,\% des ouvriers partent en stage.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Un salarié est choisi au hasard.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier ?
		\item Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier partant en stage ? 
		\item Quelle est la probabilité que ce soit un cadre partant  en stage ?
	\end{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de cadres partant en stage ? 
\item Le stage dure 10 jours pour un ouvrier, et 8 jours pour un cadre.
On définit la variable aléatoire $X$, égale au nombre de jours de stage suivis 
par un salarié de l'usine.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$ ? 
		\item Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire.
Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate} 
\vspace{1cm}

\item Chacun des 10 mots de la phrase \og rien ne sert de courir, il faut partir 
à point \fg{} est inscrit sur un carton. On suppose les cartons indiscernables au toucher et on les place dans une urne. On tire au hasard un carton (les tirages sont
donc supposés équiprobables).

 - Si le mot inscrit sur le carton contient une voyelle, on gagne 10 
 points.
 
 - Si le mot inscrit sur le carton contient deux voyelles, on perd 20 
 points.
  
- Si le mot inscrit sur le carton contient trois voyelles, on gagne 20 
points.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de
 points obtenus (positif ou négatif).
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et l'écart-type de $X$. 
		\item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique est nulle.
		
Sans changer les gains obtenus pour les mots contenant une ou trois voyelles, 
quelle devrait être la perte pour un mot contenant deux voyelles dans un jeu 
équitable ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}