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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small  mars 1996}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry mars 1996~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour étudier la progression d'une épidémie de grippe, une enquête est faite auprès d'un échantillon de \np{1000}~personnes; le tableau ci-dessous donne le nombre $N(t)$ d'individus ayant été contaminés, à la date $t$, exprimée en jours.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&1	&2		&5		&10		&15	&20\\ \hline
$N(t)$	&88	&172	&306	&420	&485&500\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
On considère qu'après $20$~jours l'épidémie est terminée, c'est-à-dire que le nombre total de personnes ayant été contaminées ne varie plus.
 
Dans ce problème, on utilisera, pour les calculs statistiques, les fonctions de la calculatrice (le détail de ces calculs n'est pas demandé). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij, pLacer le 
points de coordonnées $(t~;~N(t))$ (unités graphiques : 0,5~cm pour 1~jour en abscisse, 1~cm pour 50~individus en ordonnée). 
		\item Donner à $10^{-2}$ près la valeur du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double donnée dans le tableau. 
		
Un ajustement affine est-il envisageable ? 
		\item Déterminer une équation de la droite de régression de $N$ en $t$ et la tracer. Les coefficients seront donnés à 1 près.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction définie sur [0~;~40] par 

\[f(t) = 500\left( 1 - \text{e}^{- 0,2t}\right).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant (les résultats seront donné à 1 près). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&1	&2	&5	&10	&15	&20	&30	&50\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij{} précédent. 
		\item Déterminer graphiquement quelle est, de la droite de la première question ou de la courbe précédente, celle qui ajuste le mieux le nuage et l'utiliser pour indiquer la date à laquelle le quart de la population étudiée a déjà été atteint.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[-1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \ln (ax+b) + 2 - x,\]
 
où $a$ et $b$ sont deux réels qui seront déterminés dans la question 1. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Sachant que $f(-1) = 3$ et que $f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 0$, calculer $a$ et $b$. 
\item Montrer que la fonction $G \::\: x \longmapsto  \left(x + \dfrac{3}{2}\right) \ln (2x + 3) - x$ est une primitive sur $[-1~;~+ \infty[$ de la fonction $g \::\: x \longmapsto \ln (2x + 3)$. 
\item En observant que $f(x) = g(x) + 2 - x$ pour $x \in  [-1~;~+ \infty[$, calculer  la valeur exacte de

 $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Dans son troupeau, un berger possède deux races de brebis, $A$ et $B$. La race $A$ est représentée dans la proportion de 40\,\%. Une étude sur la fécondité des races $A$ et $B$ a montré qu'en moyenne :

\begin{description}
\item[ ] 67,5\,\% des brebis A ont un agneau ;
\item[ ] 30\,\% des brebis A ont deux agneaux ;
\item[ ] 2,5\,\% des brebis A sont stériles;  
\item[ ] 55\,\% des brebis B ont un agneau; 
\item[ ] 40\,\% des brebis B ont deux agneaux ;
\item[ ] 5\,\% des brebis B sont stériles.
\end{description}

\smallskip
 
On suppose que le nombre de brebis du troupeau est suffisamment grand pour que le fait de prélever une brebis ne change pas la proportion des brebis $A$ et $B$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit une brebis au hasard. Montrer que la probabilité pour qu'elle soit stérile est 0,04. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à une brebis, associe le nombre d'agneaux qu'elle produit. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. 
		\item Si le troupeau comprend \np{1000}~brebis, combien d'agneaux peut espérer le berger ? 
	\end{enumerate}
\item Un acheteur choisit 12 brebis au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, 3 exactement soient stériles ? 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'aucune ne soit stérile ? 
On donnera les résultats à $10^{-4}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip 

Une étude effectuée sur un certain produit a montré que, lorsqu'il est au prix p, exprimé en francs, la demande $f(p)$ pour ce produit est donné par

\[f(p) = \dfrac{10^5 \times p}{p^2 - 100},\: \text{avec }\: p \in  [11~;~+\infty[.\] 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer La demande pour Les valeurs suivantes : $p = 11$ ;\: $p = 15$ ;\: $p = 90$ (arrondir, si nécessaire, à L'unité près). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(p) > 0$ pour tout $p$ de $[11~;~+\infty[$. 
		\item Montrer que $f$ est une fonction décroissante sur $[11~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que Le prix $p$, initialement égal à 15~F, subit une augmentation de 1\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nouveau prix $p'$, ainsi que la demande correspondant à ce prix, arrondie à l'unité près. 
		\item En déduire le pourcentage de variation de la demande, consécutive à l'augmentation de prix.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On pose $g(p) = \ln[f(p)]$ pour $p \in  [11~;~ +\infty[$. On appelle \og élasticité \fg{} de la demande par rapport au prix $p$, le nombre $E(p) = pg'(p)$ , où $p \in  [11~;~+\infty[$. On admettra que ce réel donne une bonne approximation du pourcentage de variation de la demande, pour une augmentation de 1\,\% d'un prix donné.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le signe de $E(p)$ pour $p \in  [11~;~+\infty[$ ? Justifier la réponse et interpréter ce résultat. 
		\item Établir l'égalité $E(p) = 1 - \dfrac{2p^2}{p^2 - 100}$.  
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite suivante : $\displaystyle\lim_{p \to + \infty} E(p)$. 
		\item Calculer $E'(p)$ où $E'$ désigne la dérivée de $E$, et en déduire le tableau de variations de $E$. 
		\item Calculer la valeur $p_{0}$ pour laquelle l'élasticité est de $- 1,25$. 
		\item Comment évolue la demande quand le prix passe de $30$~F à $30,30$~F? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}