%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}v~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Pondichéry 22 avril 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{22 avril 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les deux parties \text{A} et \text{B} peuvent être traitées de façon indépendante} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $\mu = 13,9$ et d'écart type $\sigma$. La fonction densité de probabilité de $T$ est représentée ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=1.3cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1.5,-0.1)(30,3) %\psgrid \psline(-1.5,0)(30,0) \multido{\n=-1+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,-0.05)} \def\m{13.9}% moyenne \def\s{4.1}% écart type \def\f{30/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.5}{30}{\f} \uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[d](10,0){10}\uput[d](13.9,0){13,9} \psline[linestyle=dashed](13.9,0)(13.9,2.9) \end{pspicture} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item On sait que $p(T \geqslant 22) = 0,023$. En exploitant cette information : \begin{enumerate} \item hachurer sur le graphique donné en annexe, deux domaines distincts dont l'aire est égale à $0,023$ ; \item déterminer $P(5,8 \leqslant T \leqslant 22)$. Justifier le résultat. Montrer qu'une valeur approchée de $\sigma$ au dixième est $4,1$. \end{enumerate} \item On choisit un jeune en France au hasard. Déterminer la probabilité qu'il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième. La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole $(\mathcal{P})$ suivant : \begin{tabularx}{\linewidth}{|X} On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.\\ Pour chaque jeune de cet échantillon : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ; \item[$\bullet~~$] l'enquêteur pose la question : \og Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? \fg{} ; \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}\\ \begin{tabular}{|m{11cm}|}\hline $\blacksquare$~~si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par \og Oui \fg{} ou \og Non\fg{} de façon sincère ;\\ $\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 1 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Oui \fg{} ;\\ $\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 3 ou 5 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Non \fg.\\ \hline \end{tabular}\\ \end{tabularx} \medskip Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères. \medskip On note $p$ la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Calculs de probabilités} On choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole $(\mathcal{P})$. On note : $R$ l'évènement \og le résultat du lancer est pair\fg, $O$ l'évènement \og le jeune a répondu Oui \fg. Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$R$}} {\TR{$O$} \TR{$\overline{O}$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{R}$}} {\TR{$O$} \TR{$\overline{O}$} } } \end{center} \smallskip En déduire que la probabilité $q$ de l'évènement \og le jeune a répondu Oui\fg{} est : \[q = \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}.\] \item \emph{Intervalle de confiance} \medskip \begin{enumerate} \item À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole $(\mathcal{P})$. Sur un échantillon de taille \np{1500}, il dénombre $625$ réponses \og Oui \fg. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion $q$ de jeunes qui répondent \og Oui \fg{} à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans. \item Que peut-on en conclure sur la proportion $p$ de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier. \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\vect{OA_0} = \vect{u}$. On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur; \item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ; \item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a $\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}}\hfill \parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1) \pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$. Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$. Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$. \item \begin{enumerate} \item Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement. \item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 + 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$. \item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline \multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline 1&cos (4*pi/5)\\ &\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline 2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline &\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline \end{tabularx} \og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg \end{center} En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$. \end{enumerate} \item Dans le repère \Ouv{} donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction. \end{enumerate} %\newpage \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{ABCDEFGH désigne un cube de côté 1. Le point I est le milieu du segment [BF]. Le point J est le milieu du segment [BC]. Le point K est le milieu du segment [CD].}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(8,7.8) \psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF \psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF \psline(7.2,7.2)(5,5) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE \psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD \uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} \uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} \uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} \uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K} \psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) \end{pspicture} } \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Dans cette partie, on ne demande aucune justification} \medskip On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L. Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction: \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le point L ; \item[$\bullet~~$] l'intersection $\mathcal{D}$ des plans (IJK) et (CDH) ; \item[$\bullet~~$] la section du cube par le plan (IJK). \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (IJK). \item En déduire une équation cartésienne du plan (IJK). \end{enumerate} \item On désigne par $M$ un point du segment [AG] et $t$ le réel de l'intervalle [0~;~1] tel que $\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AG}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $M\text{I}^2 = 3t^2 - 3t + \dfrac{5}{4}$. \item Démontrer que la distance $M$I est minimale pour le point N$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que pour ce point N$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ : \begin{enumerate} \item N appartient au plan (IJK). \item La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. Le nombre $3a - 5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$. Ainsi det$(M) = 3a - 5b$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$. Justifier que $N$ est l'inverse de $M$. \item On considère l'équation $(E) :\quad \text{det}(M) = 3$. On souhaite déterminer tous les couples d'entiers $(a~;~b)$ solutions de l'équation $(E)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$. \item Montrer que le couple d'entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a - 6) = 5(b - 3)$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On pose $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$. En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$. \item \emph{Codage avec la matrice } $Q$ Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après : \textbf{Étape 1 :} On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l'entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Étape 2 :} La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$. \textbf{Étape 3 :} La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26. \textbf{Étape 4 :} À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1. \[\text{Exemple : } \text{JE} \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to \text{OF}.\] Le mot JE est codé en le mot OF. Coder le mot DO. \item \emph{Procédure de décodage} On conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\left\{\begin{array}{l c r} 3x_1&\equiv&3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\ 3x_2&\equiv&-5r_1 + 6r_2 \quad [26] \end{array}\right.$ \item En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\left\{\begin{array}{l c r} x_1&\equiv& r_1 - r_2 \quad [26]\\ x_2&\equiv& 7r_1 + 2r_2 \quad [26] \end{array}\right.$ \item Décoder le mot SG. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~14] par \[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\] La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,6.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub} \uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163) \uput[d](1.7,0){$P$}\uput[ur](1.7,2.163){$M$}\uput[l](0,2.163){$Q$} \uput[dl](0,0){$O$} \end{pspicture} \end{center} À tout point $M$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées. \medskip \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ? \item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Justifier les réponses. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On souhaite stériliser une boîte de conserve. Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$\,\degres C et on la place dans un four à température constante $T_F = 100$\,\degres C. La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85\,\degres C. \smallskip \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A : Modélisation discrète} \medskip Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$. Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Initialisation : &$T$ prend la valeur 25\\ \hline Traitement : & Demander la valeur de $n$\\ &Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\ &\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times T + 15$\\ &Fin Pour\\ \hline Sortie : &Afficher $T$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$. \item Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Modélisation continue} \medskip Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif. On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec : \[f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10. On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t = 10,\: t = \theta,\:$ $y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$. On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$. \begin{center} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,110)} \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul neg exp 75 mul sub} \uput*[u](29,0){temps (en minutes)} \uput*[r](0,105){température (en degré Celsius)} \uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85) \uput*[d](27.5,85){$y = 85$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe, que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$. \item Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$. \item La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1 à compléter et à remettre avec la copie} \bigskip \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 1}\end{flushleft} \psset{xunit=0.3cm,yunit=1.3cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1.5,-0.1)(30,3) %\psgrid \psline(-1.5,0)(30,0) \multido{\n=-1+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,-0.05)} \def\m{13.9}% moyenne \def\s{4.1}% écart type \def\f{30/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-1.5}{30}{\f} \uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[d](10,0){10}\uput[d](13.9,0){13,9} \psline[linestyle=dashed](13.9,0)(13.9,2.9) \end{pspicture} \vspace{1cm} \vfill \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 2}\end{flushleft} \psset{unit=3.5cm} \begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 2 à compléter et à remettre avec la copie} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 3}\end{flushleft} \vfill \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(8,7.8) \psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF \psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF \psline(7.2,7.2)(5,5) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE \psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD \uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} \uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} \uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} \uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K} \psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) \end{pspicture} %\vspace{1cm} \vfill \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 5}\end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.075cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,110)} \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(32,110) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul neg exp 75 mul sub} \uput*[u](28,0){temps (en minutes)} \uput*[r](0,105){température (en degré Celsius)} \uput[u](2,48){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85) \uput*[d](27.5,86){$y = 85$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{document}