%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès relu par François Hache \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{8 avril 2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. \medskip \begin{enumerate} \item La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.\index{loi exponentielle} On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$. Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$. \medskip \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$. \medskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $P(X \geqslant 3)$. \item Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$. \item Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ? \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \item \textbf{Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à } \boldmath $10^{-3}$\unboldmath. L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1\,\%. Afin de vérifier cette affirmation $800$~moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier. On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.\index{intervalle de fluctuation} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{Vrai--Faux} Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition 1} Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.\index{suite} \item $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par \[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]\index{fonction logarithme népérien} \textbf{Proposition 2} Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$. \textbf{Proposition 3} Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est : $1 + \ln 4$. \item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et $x + y + 5z - 11 = 0$.\index{géométrie dans l'espace} \textbf{Proposition 4} Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité } \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \index{complexes} \[z_{0} = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\] On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{suite géométrique} \item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. \item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline Variables& $n$ entier naturel\\ &$R$ réel\\ &$P$ réel strictement positif\\ \hline Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ &$n$ prend la valeur 0\\ &Tant que $R > P$\\ &\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ &\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ &Fin tant que\\ \hline Sortie &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? \item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. \item On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{\'i}\frac{n\pi}{6}}$. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. \item Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$. Les traits de construction seront apparents. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi la spécialité} \medskip Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.\index{probabilités} \begin{tabular}{l l} On note :& $X_{n}$ l'évènement \og la marque X est utilisée le mois $n$ \fg,\\ &$Y_{n}$ l'évènement \og la marque Y est utilisée le mois $n$ \fg,\\ &$Z_{n}$ l'évènement \og la marque Z est utilisée le mois $n$ \fg. \end{tabular} Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition. Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] 50\,\% de chance de rester fidèle à cette marque, \item[ ] 40\,\% de chance d'acheter la marque Y, \item[ ] 10\,\% de chance d'acheter la marque Z. \end{description} \setlength\parindent{0mm} Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ]30\,\% de chance de rester fidèle à cette marque, \item[ ]50\,\% de chance d'acheter la marque X, \item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Z. \end{description} \setlength\parindent{0mm} Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ]70\,\% de chance de rester fidèle à cette marque, \item[ ]10\,\% de chance d'acheter la marque X, \item[ ]20\,\% de chance d'acheter la marque Y. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$. On admet que : $y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$. \item Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.\index{matrices} On admet que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$. Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$. On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{4cm}|X|}\hline Variables& $n$ et $i$ des entiers naturels.\\ &$A$, $B$ et $U$ des matrices\\ \hline Entrée et initialisation&Demander la valeur de $n$ \\ &$i$ prend la valeur $0$\\ &$A$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$\\ &$B$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$\\ &$U$ prend la valeur $\begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$\\ \hline Traitement &Tant que $i < n$\\ &\hspace{0,4cm}$U$ prend la valeur $A \times U + B$\\ &\hspace{0,4cm}$i$ prend la valeur $i + 1$\\ &Fin de Tant que \\ \hline Sortie &Afficher $U$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour $n = 3$. \item Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ? Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$. \end{enumerate} \item On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes. \begin{enumerate} \item Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$. \item On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[7pt] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$. En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[7pt] \dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = A \times V_{n}$. \item On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C$. Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{fonction et dérivée} Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$. Le point A de coordonnées (0~;~2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$. Le point B de coordonnées (0~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué. \begin{multicols}{2} \begin{center} \hspace{-1.5cm}\textbf{\small Situation 1} \end{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture*}(-3,-3)(5.1,11) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1.5,-2.2)(-1,-0.8)(0,1)(1,1.6)(2,1.85)(3,1.95)(4,2)(4.5,1.98) \uput[d](3,2){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \columnbreak \begin{center} \textbf{\small Situation 2 ($\mathcal{C}_{2}$ est une droite)} \end{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm} \begin{pspicture*}(-3,-3)(5.1,11) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4.5}{x 1 add} \uput[dr](4,5){\red $\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{multicols} \newpage \begin{center} \textbf{\small Situation 3}\\ \psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3,-1)(4.5,10) \def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$} \def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$} \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(5,10) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-0.9)(4.5,9.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{x 2 mul 2.71828 x neg exp add} \uput[dr](3,6){\red $\mathcal{C}_{2}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A. \item On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé. \item Prouver que $a = 2$. \end{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\R$. \item En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \end{enumerate} La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.\index{aire et intégrale} \begin{center} \begin{tabular}{l l} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2,-1)(5,6) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389) \rput(0,5.5){figure 2} \psline(-2,0)(2,0)(2,4) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \psline(2,4)(-2,0)} \end{pspicture*}&\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2.5,-1)(3.5,6) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2.5,-1)(3.5,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \uput[ur](0,3.3){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[dr](1.3,3.5){$\Delta$} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \psline(-2,0)(2,0)(2,4) \uput[d](-2,0){D}\uput[d](2,0){E}\uput[ul](-2,4.389)G \uput[ur](2,5.135){F} \pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389) \rput(1,10.5){figure 3} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add 2.71828 x neg exp add} \psline(2,4)(-2,0)} \end{pspicture*} \end{tabular} \end{center} Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : \begin{itemize} \item D est le point de coordonnées $(-2~;~0)$, \item E est le point de coordonnées (2~;~0), \item F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$, \item G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$. \end{itemize} La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat). \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{ANNEXE EXERCICE 3}} \vspace{1cm} À compléter et à rendre avec la copie \vspace{1.5cm} \psset{unit=7cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.6,-0.3)(1.1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,1) \psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150) \psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30) \psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90) \psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0) \uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} \uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{document}