\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{makecell} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{fltpoint} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ES } \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small avril 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Pondichéry avril 1995}~\decofourright} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les questions 1 et 2 sont indépendantes. \begin{center} \textbf{La crise de la presse écrite} \end{center} Pour répondre aux questions suivantes, il faut lire les graphiques donnés à la fin de l'énoncé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les taux de variation des diffusions de la presse quotidienne nationale et de la presse quotidienne régionale de 1982 à 1992 (document 1). \item Quel est, de ces deux secteurs, celui qui, pourcentage, est le plus touché depuis 1982 ? \end{enumerate} \item En utilisant le document 2, déterminer quels étaient les investissements publicitaires pour la presse nationale en 1990. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Document 1 :} la presse quotidienne \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Presse quotidienne (G. P.) nationale &Presse quotidienne (G. P.) régionale et départementale\\ \emph{évolution moyenne journalière $1982-1992$ millions d'exemplaires, diffusion payée en France}&\emph{évolution moyenne journalière $1982-1992$ millions d'exemplaires, diffusion payée en France}\\ \psset{xunit=0.4cm,yunit=10cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(10,0.35) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1.50,Dy=0.10,Ox=1982,Dx=2](0,0)(10,0.31) \psline(0,0.163)(1.2,0.16)(2,0.2)(3,0.2)(4,0.3)(5,0.14)(6,0.2)(7,0.18)(8,0.16)(9,0.14)(10,0.157) \uput[l](0,0.1663){\footnotesize 1,663}\uput[r](10,0.1557){\footnotesize 1,557} \end{pspicture}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=4.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(10,0.80) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=5.75,Dy=0.25,Ox=1982,Dx=2](0,0)(10,0.75) \psline(0,0.407)(1,0.5)(3,0.46)(4,0.48)(5,0.37)(6,0.34)(7,0.22)(8,0.23)(9,0.15)(10,0.15) \uput[l](0,0.407){\footnotesize 6,157}\uput[ur](10,0.1){\footnotesize 5,850} \end{pspicture}\\ \multicolumn{2}{|c|}{\emph{Source : troisième observatoire annuel de l'écrit, OJD diffusion contrôle, juin $1993$}}\\ \hline \end{tabularx} \begin{center} \textbf{Document 2 :} Les investissements publicitaires en 1992 \begin{tabular}{| l | c | c | c|}\hline IREP & Total & \multicolumn{2}{|c|} {Évolution}\\ (OJD, \textit{op. cit.}) & hors gratuits & \multicolumn{2}{|c|} {} \\ \cline{3-4} & en millions de F & 1991/1992 &1992/1993\\ \hline Quotidiens nationaux & \np{2532} & $- 16,9$\:\% & $- 18,4$\:\%\\ \hline Quotidiens régionaux & \np{4868} & $- 8,5$\:\% & $- 5,7$\:\% \\ \hline Magazines & \np{8284} & $- 6$\:\% & $- 0,9$\:\%\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement obligatoire} \medskip Chacun des 10 mots de la phrase \og Rien ne sert de courir, il faut partir à point \fg{} est inscrit sur un carton. On suppose les cartons indiscernables au toucher et on les place dans une urne. On tire au hasard un carton. (Les tirages sont donc supposés équiprobables.) Si le mot inscrit sur le carton contient une voyelle, on gagne 10 points. Si le mot inscrit sur le carton contient deux voyelles, on perd 20 points. Si le mot inscrit sur le carton contient trois voyelles, on gagne 20 points. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de points obtenus (positif ou négatif). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique de X et l'écart-type de X. \item On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique est nulle. Sans changer les gains obtenus pour les mots contenant une ou trois voyelles, quelle devrait être la perte pour un mot contenant deux voyelles dans un jeu équitable ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Enseignement de spécialité} \medskip Un sac contient 2 pièces de 20 centimes, 4 pièces de 10 centimes et 4 pièces de 50 centimes. On tire 3 pièces simultanément. (Les tirages sont supposés équiprobables.) \medskip \begin{enumerate} \item Soit X la variable aléatoire égale au nombre de pièces de 20 centimes sorties lors d'un tirage. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de X. \item Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de X. \end{enumerate} \item On considère l'évènement $A$ \og la somme obtenue lors d'un tirage est strictement inférieure à 50 centimes \fg. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de $A$ est égale à 125' \item On répète l'épreuve 4 fois. (Les pièces sont remises dans le sac après chaque épreuve.) Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de fois où on a obtenu une somme strictement inférieure à 50~centimes. Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale. En déduire l'espérance mathématique de Y. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip Une entreprise fabrique des objets $P$. On note $x$ le nombre d'objets fabriques, exprimé en milliers. Pour des raisons d'approvisionnement, $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~3,5]$. On note $C(x)$ le coût de fabrication exprimé en millions de francs. On définit une fonction \og coût marginal \fg $M$ par $M(x) = C'(x)$, où $C'$ désigne la fonction dérivée de $C$. On définit une fonction \og coût moyen \fg $C$ par $C_{m}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On suppose que, pour cette production, le coût marginal est défini par \[M(x) = 1 + \dfrac{x - 3}{8}\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $M'$ la fonction dérivée de $M$. Calculer $M'(x)$. Déterminer le signe de $M'(x)$, et en déduire le sens de variation de $M$ sur l'intervalle $[0~;~ 3,5]$. En déduire ensuite que $M$ est strictement positive sur $[0~;~ 3,5]$. \item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ 3,5]$ par $g(x) = \dfrac{ax+b}{8}\text{e}^x$, où $a$ et $b$ sont deux réels. Déterminer $a$ et $b$ pour que la dérivée $g'$ soit définie par $g'(x) = \dfrac{x - 3}{8}\text{e}^x$. En déduire la primitive de $M$ sur $[0~;~ 3,5]$ qui s'annule pour $x = 0$.\\ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On définit la fonction \og coût \fg{} $C$ par \[C(x) = x + \dfrac{x - 4}{8}\text{e}^x+ \dfrac{1}{2}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~ 3,5]$, $C'(x) = M(x)$. Dresser le tableau de variations de $C$. \item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $\mathcal{C}$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'origine $0$. On prendra en abscisses 2~cm pour représenter un millier d'objets, et en ordonnées, 5~cm pour représenter un million de francs. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On désigne par $A$ un point d'abscisse $x$ sur la courbe $\Gamma$ et par $\mathcal{D}_{x}$, la droite $(OA)$. \medskip \begin{enumerate} \item Pourquoi le coefficient directeur de $\mathcal{D}_{x}$ est-il égal à $C_{m}(x)$ ? \item Tracer les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ correspondant respectivement à $x = 1$ et à $x = 2$. Quelle est celle qui a le plus petit coefficient directeur ? \item Par une lecture du graphique, déterminer à la centaine près le nombre d'objets à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. \item On sait en économie que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal. \begin{enumerate} \item Montrer que résoudre l'équation $C_{m}(x) = M(x)$ revient à résoudre l'équation $(x - 2)^2\text{e}^x - 4 = 0$. \item On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ 3,5]$ par \[f(x) = (x - 2)^2\text{e}^x - 4.\] Étudier les variations de $f$, et en déduire que, sur l'intervalle $[0~;~3,5]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution strictement positive dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-1}$. \item En déduire le nombre d'objets à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}