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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{26 avril 2017}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry  26 avril 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A}, {\rm B} et {\rm C} peuvent être traitées de façon indépendante}. 

\smallskip

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. 

\medskip

La chocolaterie \og Choc'o \fg{} fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85\,\%. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. 

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication: 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98. 
\item[$\bullet~~$] la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : 

$A$ l' évènement: \og la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A \fg{} ; 

$C$ l'évènement : \og la tablette de chocolat est commercialisable \fg. 

On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$. 
\item À l'issue de la production, on constate que 96\,\% des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. 

Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. 

Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle. 
\item Calculer $P(Z> 2)$. 
\item Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de 100~g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(83 < X < 87)$. 

Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2\,\% du pourcentage annoncé sur l'emballage ? 
\item Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que: 

\[P(85 - a < X < 85 + a) = 0,9.\] 

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
\item La chocolaterie vend un lot de \np{10000} tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90\,\% des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7~;~88,3]. 

Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère. 

Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ? 
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip 

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation 

\[(E) :\qquad  z^2 - 6z + c = 0\]

où $c$ est un réel strictement supérieur à 9. 

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. 
		\item Justifier que les solutions de (E) sont $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c - 9}$  et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}$. 
	\end{enumerate}
\item On note A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. 
\item Démontrer qu'il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. 

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2~m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe 
$\mathcal{C}$. 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3.2)

\psframe[fillstyle=vlines](-3,0)(3,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{13.5 x dup mul 2 mul sub ln}
\psline(2.5,0)(-2.5,0)}
\rput(-2.1,2.5){montagne}\rput(0,1.6){zone de creusement}
\uput[ur](1,2.1){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-0.2)(3,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center} 

On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$ par: 

\[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).\] 

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour $x \in  [- 2,5~;~2,5]$.
\item Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur 
$[- 2,5~;~2,5]$. 

En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Aire de la zone de creusement}

\medskip 

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.
\item Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est 

$\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$. 
\item L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5}  f(x)\:\text{d}x$, notée $a$. 

On admet que : $a \leqslant  I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times  2,5$. 

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. 

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. 
		\item En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel 

$n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip 

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip 

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A   			&B   	&C\\ \hline  
1 &rang $n$	&terme $u_n$&terme $v_n$\\ \hline    
2 &0   			& 1    	&1 \\ \hline     
3 &1   			&5     	&2\\ \hline      
4 &2   			&12    	&4\\ \hline      
5 &3   			&25    	&8 \\ \hline     
6 &4   			&50    	&16\\ \hline 
\end{tabularx}     
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 
\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textsc{}}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12   &10   	&\np{3080}   &\np{1024} \\ \hline     
13   &11   	&\np{6153}   &\np{2048} \\ \hline     
14   &12   	&\np{12298}  &\np{4096}\\ \hline      
15   &l3    &\np{24587}  &\np{8192}\\ \hline      
\end{tabularx}     
\end{center}

Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 

$u_n = 3 \times  2^n + n - 2$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
\item Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3. 
\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 

Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :

\[u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.\]

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

\bigskip

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C\\ \hline
1& rang $n$	& terme $u_n$	& terme $v_n$\\ \hline
2& 0 		&1 				&1\\ \hline
3& 1 		&5 				&3\\ \hline
4& 2 		&19 			&13\\ \hline
5& 3 		&77 			&51\\ \hline
6& 4 		&307			&205\\ \hline
\end{tabularx}     
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le
bas les termes des suites ?
\item Soit $n$ un entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée.
\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12 &10 &\np{1258291} &\np{838861}\\ \hline
13 &Il &\np{5033165} &\np{3355443}\\ \hline
14 &12 &\np{20132659} &\np{13421773}\\ \hline
15 &13 &\np{80530637} &\np{53687091}\\ \hline
\end{tabularx}     
\end{center}

Elle émet la conjecture : \og la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge \fg.

Qu'en penser ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude arithmétique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : 

$2u_n - 3v_n = (- 1)^{n+1}$.
\item Soit $n$ un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude matricielle}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
\item[$\bullet~~$] les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$
est l'inverse de $P$.
		\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a 

\renewcommand\arraystretch{1.9}$\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\
v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+  2^{2n+2}}{5}
		\end{array}\right.$ \renewcommand\arraystretch{1}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.

		\item En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe. 

L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$. 

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + \dfrac{1}{2} y +\dfrac{1}{3}z -1 = 0$. 

Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $\mathcal{P}$. 

La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques. 

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie}
\end{center}

\bigskip 

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
 Variables\\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l} 
				$R$ et $S$ sont des réels\\
 				$n$ et $k$ sont des entiers\\
 			\end{tabular}\\ 
Traitement \\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l} 
			$S$ prend la valeur $0$\\
			Demander la valeur de $n$\\
			Pour $k$ variant de $1$ à $n$ faire\\
						\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}  
						$R$ prend la valeur $\dfrac{2,5}{n} \times  f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k \right)$\\
						$S$ prend la valeur $S + R$\\
						\end{tabular}\\ 
Fin Pour\\ 
Afficher $S$\\ 
\end{tabular}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $R$ et de $S$, arrondies à $10^{-6}$, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-2}
Initialisation						&$S = 0$,   $n = 50 $&\multicolumn{2}{c}{~}\\  \hline     
Boucle Pour						&Étape $k$ 			&  $R$ &  $S$\\ \hline   
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  1							&   \ldots   		&\ldots\\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  2							&   \np{0,130060}&\np{0,260 176}  \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  3							&   \np{0,129968}&\np{0,390144} \\ \cline{2-4}  
\multicolumn{1}{c|}{~}	&  4							&   \np{0,129837}   &\ldots\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}	&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&24 &  \np{0,118 137}&   \np{3,025705}\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&25&   \np{0,116970}&   \np{3,142675} \\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}&\multicolumn{1}{c}{~}&\multicolumn{1}{c}{\vdots}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&49&   \np{0,020106}&   \np{5,197538} \\ \cline{2-4}   
\multicolumn{1}{c|}{~}&50&   \ldots&  \ldots  \\ \hline
Affichage &$S = \ldots$&\multicolumn{2}{c}{~}\\ \cline{1-2}
\end{tabularx}
\end{center}
\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie}
\end{center}

\bigskip 

\textbf{EXERCICE 5}


\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 5,linewidth=1.1pt}  
\begin{pspicture}(8,15)
\psframe(1,1)(5,5)%BCGF
\psline(5,1)(7,3.2)(7,7.2)(5,5)%CDHG
\psline(7,7.2)(3,7.2)(1,5)%HEF
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(1,1)%AB
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(7,3.2)%AD
\psline[linestyle=dashed]{->}(3,3.2)(3,7.2)%AE
\uput[ul](3,3.2){A} \uput[dl](1,1){B} \uput[dr](5,1){C} \uput[ur](7,3.2){D}
\uput[u](3,7.2){E} \uput[l](1,5){F} \uput[r](5,5){G} \uput[u](7,7.2){H}  
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}