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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2008}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Métropole 23 juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM).

\emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte retire $0,5$ point et l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}

\emph{Si le total des points obtenus dans cette partie est négatif la note est ramenée à $0$.}

\textbf{On inscrira sur la copie le numéro et la lettre de la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Un article coûte 25~\euro, une remise de 45\,\% est effectuée. Son nouveau prix est obtenu en effectuant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~ $25 \times 0,55$&	\textbf{b.}~ $25 \times \dfrac{45}{100}$&		\textbf{c.}~ $25\times 1,45$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le prix d'un article augmente de 16\,\% puis baisse de 16\,\%. Après ces deux évolutions successives :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~ il a augmenté&	\textbf{b.}~ il est revenu au prix de départ &		\textbf{c.}~ il a baissé\\
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Pour les questions $3.$ et $4.$ on considère deux évènements} $A$ \emph{et} $B$ \emph{d'un univers $\Omega$.}

On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

On donne : $p(A) =0,32~ ;~ p(B) = 0,24~ ;~ p(A \cap B) = 0,13$.
\item  La probabilité de l'évènement $A~\cup~B$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$p(A\cup B)=0,56$&	\textbf{b.}~~$p(A \cup B)=0,43$ &\textbf{c.}~~$p(A \cup B) = 0,69$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La probabilité de l'évènement $\overline{\text{A}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $p\left(\overline{A}\right)= 0,68$&	\textbf{b.}~~ $p\left(\overline{A}\right) = 1,24$ &\textbf{c.}~~ $p\left(\overline{A}\right) = 0,24$\\
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Dans une classe de Terminale sciences médico-sociales de 30 élèves, on sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 80\,\% des élèves sont des filles,
\item[$\bullet~$] 25 élèves désirent devenir infirmiers ou infirmières,
\item[$\bullet~$] 3 filles veulent devenir secrétaires médicales, aucun garçon ne le veut,
\item[$\bullet~$] tous les garçons de la classe veulent devenir infirmiers, excepté l'un d'entre eux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{Métier projeté}{Sexe}&	Garçon&	Fille&	Total\\ \hline
Infirmier(e)		&	&	&\\ \hline
Secrétaire médicale	&	&	&\\ \hline
Autre				&	&	&\\ \hline
Total				&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item   On interroge au hasard un élève de cette classe. On considère les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og l'élève interrogé veut devenir infirmier ou infirmière \fg{},
\item[] $B$ : \og l'élève interrogée est une fille \fg{}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ et celle de l'évènement $B$. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$ puis calculer sa probabilité. 
		\item Calculer $p(A \cup B)$.
 	\end{enumerate}
\item   On interroge au hasard une fille de cette classe. On considère l'évènement :

$C$ : \og  la fille interrogée veut devenir secrétaire médicale \fg.

Calculer la probabilité de l'évènement $C$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
Dans un laboratoire on injecte dans le sang d'un patient une certaine substance. 

On en mesure la concentration, en gramme par litre (g$\cdot $L$^{-1}$), en fonction du temps $x$ exprimé en heures. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}
{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps écoulé : $x_{i}$ (en h)	&0	&1	&2	&3	&4		&5	&6	&7		&8\\ \hline
Concentration : $y_{i}$ 
(g$\cdot$ L$^{-1}$)				&3,8&4,5&4,2&3,6&3,1	&3	&2,9&2,9	&2,8\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A : ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire, sur la feuille de papier millimétré fournie, le nuage de points représentant cette série. On prendra comme unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  2 cm pour une heure sur l'axe des abscisses
\item  5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item  Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près). Placer le point G sur le graphique.
\item  On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par le point G et dont le coefficient directeur vaut $- 0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$. Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique. 
		\item  On suppose que la droite $\mathcal{D}$ réalise un ajustement affine du nuage de points. En utilisant la droite $\mathcal{D}$, donner une estimation de la concentration de cette substance au bout de $9$~heures puis au bout de $10$~heures (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près).
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B : ajustement exponentiel}

\medskip

Étant donnée la forme du nuage, les biologistes de ce laboratoire en cherchent un autre ajustement. Ils considèrent la fonction $f$ définie par
 
\[f(x) = 2,75 + 2x\text{e}^{1 - x}\]

sur l'intervalle [0~;~10], où $x$ représente le temps écoulé en heures.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ puis vérifier que 

$f'(x) = (2 - 2x)\text{e}^{1 -x}.$
\item  À l'aide d'un tableau, donner le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle [0~;~10].
\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
\item  Si l'on utilisait la fonction $f$ quelle serait l'estimation de la concentration de cette substance au bout de $9$~heures puis au bout de $10$~heures ? (on arrondira les résultats à $10^{-1}$ près)
\item  Afin de choisir le meilleur ajustement, les biologistes décident de construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (on arrondira ces valeurs à $10^{-2}$ près).
		
\medskip

\begin{tabularx}
{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
$f(x)$ 	&	&4,75	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent, sur l'intervalle [0~;~8].
 	\end{enumerate}
\item Quel est l'ajustement qui paraît le mieux adapté ?
\end{enumerate}
\end{document}