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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat SMS Polynésie  juin 2008 \decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Avant l'entrée des enfants à l'école primaire, les médecins et infirmiers du Ministère de l'Éducation Nationale effectuent un bilan de santé. Ces professionnels de santé ont été chargés de réaliser une enquête auprès d'un échantillon national de \np{30000}~élèves examinés en 2000-2001.

\medskip

On étudie ici les résultats d'un groupe de 555 élèves de Champagne-Ardenne au sujet de leur poids.

\textbf{Pour ce groupe :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $275$ enfants sont des filles ;
\item[] $12$\,\% des filles sont concernées par un surpoids modéré;
\item[] $252$~garçons ont un poids normal et parmi les garçons 7,5\,\% ont un surpoids modéré ;
\item[]  $18$~enfants sont obèses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par un calcul que $21$~garçons et $33$~filles du groupe ont un surpoids modéré.
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Élèves			&Filles	&Garçons&Total\\ \hline
Poids normal	&		&		&\\ \hline
Surpoids modéré	&33		& 21	&\\ \hline
Obèse			&		&		&\\ \hline
Total			&		&		&555\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{(Source : flash STAT 2003)}
\end{tabularx}

\medskip

	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$ près.}

On choisit au hasard l'un des 555 élèves du groupe. 
	\begin{enumerate}
		\item On note $A$ l'évènement suivant : \og L'enfant choisi présente un surpoids modéré \fg{} et $B$ l'évènement : \og L'enfant choisi est obèse \fg. 
		
Calculer la probabilité des évènements $A$ et $B$.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $A \cup B$ et calculer sa probabilité.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A \cup  B}$ et calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une fille parmi les $555$~enfants du groupe. Calculer la probabilité que cette fille soit obèse.
\item  L'enquête réalisée auprès de l'échantillon national de \np{30000}~élèves indique que 86\,\% des enfants ont un poids normal. Qu'en est-il du groupe étudié en Champagne-Ardenne ?

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~9] par :

\[f(t) = 6t\text{e}^{- \frac{t}{3}}\]

et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer les valeurs exactes de $f(0),~f(3),~f(9)$.

\item  Calculer $f'(t)$ où $f'(t)$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier que :

\[f'(t)= 2\text{e}^{- \frac{t}{3}}(3 - t).\]

\smallskip

\item   Résoudre l'équation $f'(t) = 0$ et étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~9].
\item   En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~9].
\item   Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item   Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à $0,1$ près).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	&0,5&1		&1,5&2		&3	&4	&5  &6 &7   &8&9\\ \hline
$f(t)$	&	&2,5&	 	&5,5&6,2	&	&  	&5,7&  &4,1 & &2,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Sur une feuille de papier millimétré, construire la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal en prenant $2$~cm pour une unité sur chaque axe.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Les pénicillines naturelles sont des antibiotiques extraits de cultures de la moisissure \emph{Penicillium}. La pénicilline V, administrée par voie orale est une des molécules naturelles le plus souvent prescrite.

 Un patient a absorbé par voie orale de la pénicilline V. On admet que la concentration de pénicilline V dans son sang (en milligrammes par litre) en fonction du temps $t$ (en heures) après le début du traitement est donnée par :
 
\[f(t) = 6t\text{e}^{- \frac{t}{3}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la concentration de pénicilline V présente dans le sang au bout de 2~h 30~minutes après la prise du traitement (\emph{donner ce résultat sous forme décimale arrondie à $0,1$~près}).
\item Au bout de combien de temps la concentration de pénicilline V est-elle maximale ? Quelle est alors cette concentration à $0,1$~près ? 
\item  Déterminer graphiquement durant combien de temps la concentration de pénicilline V reste supérieure ou égale à $5$ milligrammes par litre (\emph{indiquer sur le dessin de la partie A les traits de construction utiles}). Exprimer le résultat en heures et minutes.
\end{enumerate}
\end{document}