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% Merci à Christelle Bart pour le sujet
%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Antilles--Guyane  juin 2013~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'abonnements au service de téléphonie mobile en France entre fin 2001 et fin 2009, exprimé en millions.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 		&2001 	&2002 	&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 \\ \hline
Rang $x_{i}$& 1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9  \\ \hline
Nombre d'abonnements
 $y_{i}$ 	&37 	&38,6 	&41,7 	&44,5 	&48,1 	&51,7 	&55,3 	&58 	&61,5 \\ \hline 
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{source : Eurostat}}
\end{tabularx}

\medskip
 
On définit ainsi une série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ allant de 1 à 9.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille de papier millimétré fournie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
		 
On choisira :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses, 
\item[$\bullet~~$] 1 cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées, (commencer à graduer l'axe des ordonnées à 34)
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage est envisageable. 
		\item Calculer les coordonnées, à $0,1$ près, du point moyen G du nuage puis placer G sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, deux méthodes différentes de modélisation seront utilisées.	 
\item \textbf{Méthode graphique}
 
	\begin{enumerate}
		\item Sans effectuer de calcul, tracer une droite passant par le point G qui réalise un ajustement affine du nuage de points. 
		\item Estimer, au million d'abonnements près, à l'aide du graphique, le nombre d'abonnements au service de téléphonie mobile en France fin 2012. La réponse sera donnée sur la copie.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Méthode algébrique}
 
On admet dans cette partie que la droite d'équation : $y = 3,2x + 32,5$ réalise un bon ajustement de ce nuage.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier, par le calcul, que cette droite passe par le point G. 
		\item Estimer, à $0,1$~million d'abonnements près, par le calcul, le nombre d'abonnements au service de téléphonie mobile en France fin 2012. 
		\item Les dernières données disponibles indiquent qu'il y a $70,4$~millions d'abonnements au service de téléphonie mobile en France en juin 2012. 
L'estimation obtenue à la question \textbf{b.} vous parait-elle surestimer ou sous-estimer la réalité ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, les résultats seront exprimés en pourcentage et arrondis à $0,1$\,\% près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

En France, les 4 premiers groupes iso-ressources (GIR 1 à 4) de la grille nationale AGGIR ouvrent droit à l'allocation personnalisée d'autonomie (APA).
 
Fin 2010, \np{1200} milliers de personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l'APA dont 734 milliers ont directement perçu l'APA à domicile.
 
Voici le tableau donnant, en milliers de personnes, le nombre de bénéficiaires de l'APA selon le degré de dépendance de la personne: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\multicolumn{3}{c|}{Au 31 décembre 2010}\\ \cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{~}&À domicile& En établissements& Total\\ \hline 
GIR1 	&19 	&86 	&105\\ \hline 
GIR2 	&131 	&191 	&322\\ \hline 
GIR3 	&159 	&79 	&238\\ \hline 
GIR4 	&425 	&110 	&535\\ \hline 
Ensemble&734	&466 	&\np{1200}\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize \emph{Source: Drees, enquête trimestrielle auprès des conseils généraux}}\\
\end{tabularx}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est, en pourcentage, la proportion des bénéficiaires de l'APA qui ont perçu cette allocation directement à domicile ? Arrondir le résultat à 0,1\,\% près. 
		\item Parmi les personnes bénéficiant de l'APA en établissement, quelle est, en pourcentage, la proportion de celles relevant du GIR2 ? On arrondira le résultat à 0,1\,\% près.
	\end{enumerate} 
\item En 2009, $718$ milliers de personnes ont bénéficié de l'APA à domicile. Calculer le taux d'évolution du nombre de bénéficiaires de l'APA à domicile entre 2009 et 2010. On exprimera ce taux en pourcentage, arrondi à $0,1$\,\% près. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $u_{0}$ le nombre de milliers de personnes bénéficiant de l'APA à domicile à la fin de l'année 2010, et $u_{n}$ le nombre de milliers de personnes bénéficiant de l'APA à domicile à la fin de l'année $(2010 + n)$.
 Ainsi, $u_{0} = 734$. On admet que le nombre de bénéficiaires de l'APA à domicile augmente de 2,2\,\% chaque année à partir de 2010.
  
On utilise un tableur pour calculer des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B&C&D\\ \hline
1&Années& $n$& $u_{n}$&\\ \hline 
2& 2010 &0 &734&\\ \hline 
3 &2011 &1 &&\\ \hline 
4 &2012 &2 &&\\ \hline 
5 &2013 &3 &&\\ \hline 
\ldots&\ldots&\ldots& &\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$. Donner une valeur approchée à l'unité près. 
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser sa raison. 
\item Quatre formules à saisir dans la cellule C3, puis à recopier vers le bas pour afficher les valeurs de $u_{n}$, sont proposées : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{$=734\star1,022$}&\fbox{=C2$\star1,022$}&\fbox{C\$$2\star1,022$}&\fbox{=\$C\$$2\star1,022$}
\end{tabularx}
\medskip

Une seule est exacte. Indiquer cette formule sur votre copie. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. 
\item Quel nombre de personnes bénéficiant de l'APA à domicile peut-on prévoir pour la fin de l'année 2020 ?
 
Donner la réponse au millier de personnes près. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Si la progression reste la même, à partir de la fin de quelle année le nombre de personnes bénéficiant de l'APA à domicile dépassera-t-il un million ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip
 
Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un vaccin. Sa capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre $0$ et $18$ litres de ce produit. On note $B(x)$ le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour une production d'un volume $x$ de vaccin exprimé en litres. On appelle $B$ la fonction définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~18] qui à $x$ associe $B(x)$. La courbe représentative de la fonction $B$ est donnée en annexe. 

\bigskip

\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide du graphique le(s) volume(s) hebdomadaire(s) nécessaire(s) pour que le bénéfice hebdomadaire soit égal à $400$~euros. On donnera la réponse sur la copie. 
\item Déterminer à l'aide du graphique pour quels volumes hebdomadaires produits, le laboratoire est bénéficiaire. On donnera la réponse sur la copie.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : Étude du bénéfice hebdomadaire}

\medskip
 
On admet que $B$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~18] par : 

\[B(x) = - x^3 + 6x^2 + 180x - 184.\]
 
On notera $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18], l'expression de $B'(x)$. 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18],
		
		 $B'(x) = (- 3x + 30)(x + 6)$. 
		\item Étudier le signe de $B'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18]. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~18].
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le volume hebdomadaire à produire pour obtenir un bénéfice maximal.
 
Quel est le montant, en euros, du bénéfice hebdomadaire maximal ? 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}\\ \textbf{(à rendre avec la copie)}}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.006cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-850)(18.5,1300)

\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=orange,linestyle=dotted,dotsep=1pt](\n,-800)(\n,1300)}
\multido{\n=-800+100}{22}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=orange,linestyle=dotted,dotsep=1pt](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.5,-850)(18.5,1300)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100](0,0)(-0.5,-850)(18.5,1300)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x dup mul 6 mul x 3 exp sub 180 x mul add 184 sub}
\rput(18,120){Volume}\rput(18,60){(en litres)}
\uput[r](0,1400){Bénéfice}\uput[r](0,1350){(en euros)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} 
\end{center}
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