\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{diagbox} \usepackage{textcomp} % Tapuscrit Denis Vergès \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-node,pst-plot,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Métropole 11 septembre 2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat ST2S}} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{11 septembre 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 2 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Métropole 11 septembre 2013~\decofourright}} \vspace{0,3cm} L'usage d'une calculatrice est autorisé. \end{center} \vspace{0,3cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève aucun point.} \medskip \emph{On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~10]$ dont la représentation graphique $C_{f}$ est donnée dans le repère orthonormal ci-dessous. La droite (D) est tangente à la courbe au point A d'abscisse 5. \begin{center} \psset{unit=0.725cm} \begin{pspicture*}(-5.5,-3.5)(11.5,7.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](-6,-4)(12,8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-3.5)(11.5,7.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot{2}{10}{11.5 1.5 x mul sub} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5,3)(-4,1.6)(-3,0)(-2,-1)(-1,0)(0,2)(1,4)(2,5.4)(3,6)(4,5.4)(5,4)(6,2.6)(7,1.45)(8,1)(9,1.75)(10,3) \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](5,4){A}\uput[dl](-4.5,2.4){\blue $C_{f}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} [0~;~10]&\textbf{b.~~} $[-5~;~-3] \cup [-1~;~10]$& \textbf{c.~~} $[- 2~;~3] \cup [8~;~10]$. \end{tabularx} \medskip \item L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~}\{2\}&\textbf{b.~~} $\{-3~;~- 1\}$&\textbf{c.~~} $\{-2~;~3~;~8\}$. \end{tabularx} \medskip \item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x = 5$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} 5&\textbf{b.~~} $- \dfrac{3}{2}$&\textbf{c.~~} $- 2$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \np{2500} \times 0,7^x$. \begin{enumerate} \item L'image, arrondie à l'unité, de 5 par la fonction $g$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} 420&\textbf{b.~~} \np{8750}&\textbf{c.~~} \np{7500}. \end{tabularx} \medskip \item Les solutions de l'inéquation $g(x) < 100$ sont les nombres réels $x$ tels que : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.~~} $x > \dfrac{\log (0,04)}{\log (0,7)}$&\textbf{b.~~} $x < \dfrac{\log (0,04)}{\log (0,7)}$&\textbf{c.~~} $x < \dfrac{\log (0,7)}{\log (0,04)}$ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points} \medskip Les parties A et B sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le service de l'eau d'une ville a été privatisé en 1990, puis géré par la commune à partir de 1996. \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution du prix de l'eau de cette ville, en euros pour $120$~m$^3$, entre les années 1990 et 1996. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 1 &Année &1990 &1991 &1992 &1993 &1994 &1995 &1996\\ \hline 2 &Prix de $120$~m$^3$ d'eau (en euros) &185 &177 &189 &208 &216 &222 &228\\ \hline 3&Taux d'évolution entre deux années consécutives (en \,\%)&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre 1990 et 1991. \emph{On donnera le résultat sous forme de pourcentage arrondi à} 0,1\,\%. \item Quelle formule doit-on rentrer dans la cellule D3, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre deux années consécutives ? (\emph{On admet que les cellules} C3 \emph{à} H3 \emph{sont en pourcentage}). \medskip On admet que, si le service de l'eau était resté privatisé, le prix de $120$~m$^3$ aurait augmenté de $2,5$\,\% par an à partir de l'année 1996. \medskip On note alors $u_{n}$ le prix de $120$~m$^3$ d'eau pour l'année $(1996 + n)$ où $n$ est un entier naturel. On a alors $u_{0} = 228$. \item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Quel aurait été le prix de $120$~m$^3$ d'eau en 2012 si le service était resté privatisé ? (\emph{Le résultat sera arrondi à l'unité}). \item À partir de quelle année, le prix de $120$~m$^3$ d'eau aurait-il dépassé $300$~\euro{} ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La ville gère le service de l'eau depuis 1996. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau depuis 1998. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1998 &2000 &2002 &2004 &2006 &2008 &2010 &2012\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12 &14\\ \hline Prix de $120$~m$^3$ d'eau en euros $y_{i}$ &191 &202 &198 &202 &204 &208 &215 &220\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : \setlength\parindent{7mm} \begin{itemize} \item 1~cm pour 1 rang d'année sur l'axe des abscisses. On commencera la graduation à $0$. \item 1~cm pour 4~\euro{} sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à 190. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Placer le point moyen G dans le repère. \item On admet que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 1,8x + 192,4$ réalise un ajustement affine du nuage de points. Cet ajustement est fiable jusqu'en 2020. \begin{enumerate} \item Vérifier que le point moyen G appartient à la droite $(\Delta)$. \item Tracer la droite $(\Delta)$ dans le repère précédent. \item En tenant compte de cet ajustement affine, déterminer le prix de $120$~m$^3$ d'eau que l'on peut prévoir pour l'année 2020. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Une enquête a été menée auprès de 1 700 habitants de diverses régions françaises consommant de l'eau du robinet ou de l'eau en bouteille. Les résultats de l'enquête sont répartis par région dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}m{3.8cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&\footnotesize Nombre de personnes consommant de l'eau du robinet&\footnotesize Nombre de personnes consommant de l'eau en bouteille&TOTAL\\ \hline Nombre de personnes habitant en région parisienne&557&274 &831\\ \hline Nombre de personnes habitant en région nord&224 &243 &467\\ \hline Nombre de personnes habitant en région sud-ouest &309 &93& 402\\ \hline TOTAL &\np{1090} &610 &\np{1700}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{7mm} \begin{description} \item[ ] $N$ : \og La personne interrogée habite dans la région nord. \fg \item[ ] $R$ : \og La personne interrogée consomme de l'eau du robinet. \fg \end{description} \setlength\parindent{0mm} \emph{Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard une personne parmi toutes les personnes interrogées. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $R$. \item Définir par une phrase l'évènement $\overline{R}$ puis calculer sa probabilité. \item Définir par une phrase l'évènement $N \cap R$ puis calculer sa probabilité. \item Définir par une phrase l'évènement $N \cup R$ puis calculer sa probabilité. \end{enumerate} \item On veut comparer le type de consommation d'eau suivant les régions : \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'une personne interrogée consomme l'eau du robinet sachant qu'elle habite la région nord. \item Dans quelle région faudrait-il se placer pour que la probabilité qu'une personne interrogée consomme l'eau du robinet soit la plus élevée ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}