\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Olivier Reboux \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{multicol} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{colortbl} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-eucl} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES}, pdftitle = {Métropole 19 juin 2013}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat ST2S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2013}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ST2S Métropole 19 juin 2013~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill } \medskip \textbf{Q. C. M.} \emph{Pour chaque question, quatre affirmation sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.} \emph{Le candidat notera sur sa copie, le numéro de la réponse de chaque question suivi de la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte ajoute un point, une réponse fause ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.} L'évolution de l'endettement d'une entreprise est donnée par le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\centering \text{A} &\text{B} &\text{C} &\text{D} &\text{E} &\text{F}&\text{G} \\\hline 1 &Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 \\\hline 2 &Endettement en milliers d'euros &400 &410 & & & & \\\hline 3 & Pourcentage d'évolution entre deux années consécutives & \multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c}{} & & & & & \\\hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Le pourcentage d'augmentation de l'endettement de l'entreprise entre les années 2011 et 2012 est : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $0,25$\,\% \item $2,5$\,\% \item $10,25$\,\% \item $0,025$\,\% \end{enumerate} \end{multicols} \emph{À partir de l'année 2012, on admet que l'endettement de l'entreprise diminuera chaque année de $5$\,\%.} \item La formule à saisir dans la cellule \verb+D2+, qui recopiée vers la droite, permettra d'afficher les valeurs en milliers d'euros de l'endettement de l'entreprise pendant les années qui suivent 2012 est : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item \verb+=410*0,95+ \item \verb+=C2*0,05+ \item \verb+=C2*0,95+ \item \verb+=$C$2*0,95+ \end{enumerate} \end{multicols} \item On désigne par $n$ un entier naturel. On note $u_n$ l'endettement de l'année $2012 +n$, ainsi $u_0 = 410$. L'endettement de l'entreprise en milliers d'euros pendant l'année 2020 est : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $u_8 = 410 \times 0,95^8$ \item $u_8 = 410 \times 0,95^9$ \item $u_9 = 410 \times 0,95^8$ \item $u_9 = 410 \times 0,95^9$ \end{enumerate} \end{multicols} \item On cherche à partir de quelle année l'endettement de l'entreprise aura diminué de moitié. Pour cela l'inéquation à résoudre s'écrit $410 \times 0,95^n \leqslant 205$, où $n$ désigne un entier naturel. Les solutions de cette inéquation sont les entiers $n$ tels que : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $ n \leqslant \dfrac{\log(0,5)}{\log(0,95)}$ \item $ n \geqslant \dfrac{\log(0,5)}{\log(0,95)}$ \item $ n \geqslant \log \left(\dfrac{0,5}{0,95}\right)$ \item $ n \leqslant \log \left(\dfrac{0,5}{0,95}\right)$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Dans le tableau les cellules \verb+C3+ à \verb+G3+ sont en pourcentages. La formule à saisir dans la cellule \verb+C3+, qui recopiée vers la droite, permet d'afficher le pourcentage d'évolution de l'endettement de l'entreprise entre deux années consécutives est : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item \verb+=($C2-$B2)/$B2+ \item \verb+=C2-B2/B2+ \item \verb+=C2/B2+ \item \verb+=(C2-B2)/B2+ \end{enumerate} \end{multicols} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill } \medskip Fin 2010, \np{1200000} personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l'Allocation Personnalisée d'Autonomie (APA), soit à domicile, soit en établissement. Ces personnes sont classées dans quatre Groupes Iso-Ressources (GIR) en fonction des différents stades de pertes d'autonomie. Les résultats, exprimés en milliers de personnes, d'une enquête réalisée en 2010 auprès des conseils généraux ont permis de construire le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5cm}|}\hline &\footnotesize Nombres de personnes bénéficiant de l'APA à domicile (\emph{en milliers})&\footnotesize Nombres de personnes bénéficiant de l'APA en établissement (\emph{en milliers})&Total (\emph{en milliers}) \\ \hline Nombre de personnes en GIR1 (\emph{en milliers}) & 19 & 86 & 105\\ \hline Nombre de personnes en GIR2 (\emph{en milliers}) & 131 & 191 & 322\\ \hline Nombre de personnes en GIR3 (\emph{en milliers}) & 159 & 79 & 238\\ \hline Nombre de personnes en GIR4 (\emph{en milliers}) & 425 & 110 & 535\\ \hline Total (\emph{en milliers}) & 734 & 466 &\np{1200} \\ \hline \multicolumn{4}{m{14cm}}{\scriptsize Source : Enquête trimestrielle en 2010 auprès des conseils généraux par la Direction de la recherche, des études, de l'évaluation et des statistiques du Ministère de la santé.} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier, par un calcul approprié, chacune des informations suivantes dans lesquelles les résultats ont été arrondis à l'unité. \begin{enumerate} \item Le pourcentage des personnes de l'étude qui vivent à domicile est égal à $61$\,\%. \item $3$\,\% des personnes de l'étude vivant à domicile sont classées en GIR1. \end{enumerate} \emph{Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.} \item On choisit au hasard le dossier d'une personne agée dépendante bénéficiant de l'APA. On considère les évènements suivants : \begin{description} \item[$G$ :] \og Le dossier est celui d'une personne classée en GIR1\fg. \item[$E$ :] \og Le dossier est celui d'une personne vivant en établissement\fg. \end{description} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des évènements $G$ et $E$. \item Définir par une phrase chacun des évènements suivants $G \cap E$ et $G \cup E$ puis calculer leur probabilité. \item Sachant que le dossier choisi est celui d'une personne classée en GIR4, calculer la probabilité que cette personne vive à domicile. \item Calculer $P_E(G)$. \end{enumerate} \end{enumerate} %\begin{Corrige} % \begin{enumerate} % \item % \begin{enumerate} % \item $\frac{734}{1200}$. % \item $\frac{19}{734}$. % \end{enumerate} % \item % \begin{enumerate} % \item $P(G)= \frac{105}{1200} \approx 0,09$. $P(E) = % \frac{466}{1200} \approx 0,39$. % \item $G \cap E$ se traduit par le dossier est celui d'une % personne classée en GIR1 \textbf{et} vivant en établissement. % % $P(G \cap E) = \frac{86}{1200} \approx 0,07$. % % $G \cup E$ se traduit par le dossier est celui d'une % personne classée en GIR1 \textbf{ou} vivant en établissement. % % $P(G \cap E) = P(E) +P(G) - P(G \cap E) \approx 0,09 + 0,039 - 0,07$. % \item La probabilité $p$ cherchée est : $p = \frac{425}{535} % \approx 0,81$. % \item $P_E(G) = \frac{P(E \cap G)}{P(E)} = \frac{86}{466} % \approx 0,18$ % \end{enumerate} % % \end{enumerate} %\end{Corrige} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "bac_13" %%% End: \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill } \medskip Pour traiter un patient, un médecin procède à l'injection intramusculaire d'une dose d'une substance médicamenteuse au temps $t = 0$ ($t$ est exprimé en heures). Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé. Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actif dans le sang est supérieur ou égale à $25$~mg.L$^{- 1}$ (25 milligrammes par litre). La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pas dépasser $40$~mg.L$^{-1}$ pour éviter les effets secondaires. \bigskip \textbf{Partie A : Étude graphique} \medskip La courbe donnée en annexe représente la concentration en mg.L$^{-1}$ du produit actif dans le sang du malade en fonction du temps écoulé depuis l'injection du médicament. À l'aide de cette courbe répondre, avec la précision que permet le graphique, aux questions suivantes en faisant apparaître les traits de constructions utiles. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la concentration en mg.L$^{-1}$ du produit actif pout $t = 5$. \item Le médecin a-t-il respecté la dose à ne pas dépasser ? Expliquer. \item Déterminer les temps en heures et minutes pour lesquelles la quantité de produit actif est de $15$~mg.L$^{-1}$. \item Quelle est la durée pendant laquelle le médicament est resté efficace ? \item Au bout de quelle durée le médicament est-il complètement éliminé ? \end{enumerate} \begin{figure}[!p] \centering \rotatebox{90}{%} \begin{pspicture}(-1,-1)(14,10) \psset {% xunit=2,% yunit=0.2,% % PointName=none,% % PointSymbol=none,% algebraic,% }% \psclip% {\psframe[linestyle=none](0,0)(7,50)}% {% \psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x^3-12*x^2+36*x}% }% \endpsclip% \psaxes% [% Dx=1,% Dy=5,% ysubticks=5,% xsubticks=10,% subticksize=1,% xticksize=0 50,% yticksize=0 7,% tickcolor=black,% ticklinestyle=solid,%dashed,% subticklinestyle=solid,%dashed,% ]% {->}(0,0)(0,0)(7.15,51.5)[temps en heure,135][Concentration en milligrammes par litre mg.L$^{-1}$,0] \end{pspicture}} \caption{Annexe --- À rendre avec la copie} % \label{fig_ST2S_13C} \end{figure} \bigskip \textbf{Partie B : Étude numérique} \medskip On admet que la concentration, exprimée en mg.L$^{-1}$, du produit actif dans le sang du malade est donnée en fonction du temps $t$, exprimé en heures, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~6]$ par : \[f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeur numérique %\ref{tab_ST2S_13C}. \begin{table}[!h] \centering \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\\hline $f(t)$ & & & & & & & \\\hline \end{tabularx} %\caption{ } %\label{tab_ST2S_13C} \end{table} \item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. Calculer $f'(t)$. \item Démontrer que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~6]$, on a : $f'(t) = (t - 6)(3t - 6)$. \item Résoudre l'équation $f'(t) = 0$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. \item Construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~6]$. En déduire la concentration maximale du produit actif dans le sang du malade. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}