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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Antilles juin 1998}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise agro-alimentaire utilise une machine pour conditionner des framboises en barquettes. La masse théorique d'une barquette est 200~g. 

Afin de vérifier l'étalonnage de la machine, on prélève un échantillon de 500~barquettes que l'on pèse. On obtient les résultats suivants:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Masse (g)			&[190~;~195]&[195~;~200]&[200~;~205]&[210~;~215]\\ \hline
Nombre de barquettes&75			&125		&200		&100\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la masse moyenne, la variance et l'écart-type de cet échantillon de barquettes. On donnera le détail des calculs. L'écart-type sera donné à $0,1$ près.
\item Quel est, dans cet échantillon, la proportion de barquettes ayant une masse supérieure ou égale à $200$~g ?
\item L'épreuve consiste à prélever au hasard une barquette dans la production. On admet que la probabilité pour que cette barquette ait une masse supérieure ou égale à $200$~g est $p = 0,6$.

On répète 5 fois cette épreuve, avec remise et de manière indépendante, et on note X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de barquettes parmi ces 5 dont la masse est supérieure ou égale à $200$~g.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la loi de $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		
Les résultats suivants seront exprimés à $0,01$ près.
		\item Calculer la probabilité pour que les 5 barquettes aient une masse supérieure ou égale à 200~g.
		\item Calculer la probabilité pour qu'au moins une barquette ait une masse supérieure ou égale à 200~g.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 14 points}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Soit la fonction numérique $g$ définie pour tout $x$ réel par 

\[g(x) = \left(\text{e}^x + 1\right)\left(2\text{e}^x - 1\right).\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $g(x)$ est du signe de $2\text{e}^x - 1$.

En déduire que $g(x) > 0$ pour $x > - \ln 2$ et $g(x) \leqslant  0$ pour $x \leqslant - \ln 2$.
\item Développer et réduire $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $2X2 + X - 3 = 0$. En déduire (en posant $X = \text{e}^x$) que l'unique solution réelle de l'équation $2\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 3 = 0$ est $x = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Seconde partie}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $[- 4~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^x - x.\]

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative
dans le repère orthonormal \Oij. Unité graphique : 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra mettre $\text{e}^x$ en facteur dans $f(x)$ et utiliser $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\text{e}^{-x} = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée de la fonction!
		\item En utilisant le 1. et le 2. de la première partie, étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $[- 4~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant le 3. de la première partie, déterminer en quel point la courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente $(T)$ de coefficient directeur $2$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
	
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$x$&$-4$&$- 2$&$- 1$&0&0,5&1\\ \hline
$f(x)$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Les valeurs numériques de $f$ seront calculées à $10^{-2}$ près.
\item Placer les points du 4., tracer la droite $(T)$ et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère \Oij.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une primitive $F$ de $f$ sur $[- 4~;~+ \infty[$.
		\item Hachurer sur le graphique le domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 4$ et $x = 1$.
		\item Calculer l'aire de ce domaine : on donnera sa valeur exacte puis une valeur approchée exprimée en cm$^2$, au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}