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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et de l'Environnement \\Antilles--Guyane session juin 2006}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats numériques sous forme décimale arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip
 
Dans une industrie laitière, l'atelier de fabrication possède deux lignes de conditionnement $L_{1}$ et $L_{2}$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Au cours de la production journalière, 45\,\% des yaourts proviennent de la ligne $L_{1}$.

15\,\% des yaourts de la ligne $L_{1}$ présentent un défaut de scellage de l'opercule.

5\,\% des yaourts de la ligne $L_{2}$ présentent ce même défaut.
 
On choisit un yaourt au hasard. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og Le yaourt provient de la ligne $L_{1}$ \fg
\item[] B : \og Le yaourt provient de la ligne $L_{2}$ \fg 
\item[] C : \og Le yaourt présente un défaut de scellage \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l'énoncé, décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur chaque branche. 
\item  Calculer les probabilités des évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] \og Le yaourt provient de la ligne $L_{1}$ et présente un défaut de scellage  \fg  
\item[] \og Le yaourt présente un défaut de scellage \fg  
\item[] \og Le yaourt provient de la ligne $L_{2}$ et ne présente aucun défaut de scellage \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On note $X$ la variable aléatoire égale à la masse, exprimée en grammes, d'un yaourt provenant de la production journalière de l'ensemble de l'atelier. On admet que la loi de $X$ est la loi normale de moyenne $\mu = 125$ et d'écart-type $\sigma = 10$.
 
\emph{Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser la table de la loi normale centrée réduite.}
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité que la masse d'un yaourt soit inférieure à $105$~g. 
\item  Calculer la probabilité que la masse d'un yaourt soit comprise entre $115$~g et $135$~g. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \text{e}^x - \dfrac{1}{x + 1}\]

et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe  
représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 0,5~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la limite en $+ \infty$ de $f$. 
		\item   Calculer la limite en $-1$ de $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$. 
		\item Montrer que $f'(x) > 0$ sur $]-1~;~+\infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
 
\emph{Les valeurs numériques de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-0,75$&$-0,5$&  0 & 0,5& 1 	&1,5 & 2 & 2,5\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&& \\ \hline

\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Construire la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans le repère \Oij.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

 La courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $[-\pi~;~+\pi]$.
 
\medskip
  
\textbf{Partie A} 

\medskip

\textbf{Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en expliquant par une phrase la démarche adoptée:}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Donner $g(0)$ et $g'(0)$. 
\item  Résoudre l'équation $g(x) = 0$ sur $[-\pi~;~+\pi]$.
\item  Résoudre l'équation $g'(x) = 0$ sur $[-\pi~;~+\pi]$.
\end{enumerate}
 
\medskip
  
\textbf{Partie B} 

\medskip
 
On admet que la fonction $g$ est définie sur $[-\pi~;~+\pi]$ par :

\[ g(x) = 1 - \sin (2x).\]
 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $- \dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$ sont des solutions de l'équation $g(x) = 0$ sur $[-\pi~;~+\pi]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $G$ définie sur $[-\pi~;~+\pi]$ par: 
		
		\[G(x) = x + \dfrac{1}{2}\cos (2x)\]
		
est  une primitive de $g$ sur $[-\pi~;~+\pi]$. 
		\item  On appelle $\mathcal{S}$ l'aire du domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$, l'axe des  abscisses et les droites d'équations $x = - \dfrac{3\pi}{4}$ et $x = \dfrac{\pi}{4}$. Calculer, en unités d'aires, la valeur exacte de $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{Document de l'exercice 3 : courbe }\boldmath $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ \unboldmath
\end{center}

\vspace{1cm}
 
La droite (T) est tangente à $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ au point d'abscisse $0$. 

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.7cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2.25)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1.25pt,griddots=10](-3.5,-2.25)(3.5,2.5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-3.14159}{3.14159}{1 x 360 mul 3.14159 div sin sub}
\psplot{-0.75}{1.5}{1 2 x mul sub}\uput[l](-0.6,2.25){(T)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](3.4,0){$x$} \uput[l](0,2.4){$y$}
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\psline[linestyle=dashed](-3.14159,0)(-3.14159,1)
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\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}