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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P{}. A.}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~S. T.  A. E.~Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2007}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, tes résultats numériques seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip
 
Un organisme a étudié le volume $X$, exprimé en litres, de carburant consommé par un véhicule sur un trajet fixé. On admet que $X$ est une variable aléatoire de loi normale de moyenne 48 et 
d'écart-type $3,8$.

\medskip
 
\emph{Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser la table de la toi normale centrée réduite.}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le volume de carburant consommé au cours de ce trajet soit  :
	\begin{enumerate}
		\item inférieur à 42,3~litres. 
		\item compris entre 40,59~litres et 55,41~litres.
	\end{enumerate} 
\item Le véhicule effectuant ce trajet a un réservoir d'une capacité de 44,2~litres. Quelle est la probabilité qu'un plein ne suffise pas pour effectuer ce trajet ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document représente, dans un repère orthogonal, une fonction $g$ définie et dérivable sur un intervalle I ~$ = \left[- \dfrac{\pi}{2}~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right]$. La droite (T) est tangente à $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ au point d'abscisse $0$. 
 
\begin{enumerate}
\item  \emph{Par \textbf{lecture graphique}, répondre aux questions suivantes en expliquant par une phrase la démarche adoptée :}
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $g(0)$ et $g'(0)$. 
		\item Résoudre dans I l'équation : $g(x) = 0$. 
		\item Résoudre dans I l'inéquation: $g'(x) > 0$.
	\end{enumerate} 
\item  On admet que la fonction $g$ est définie sur I par : 

\[g(x) = 2\sin x + 1.\]
 
En utilisant le cercle trigonométrique, résoudre sur  I l'équation : 

\[2\sin x + 1 = 0.\]
 
Quel résultat du 1. retrouve-t-on ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

On admet que, dans certaines conditions, l'évolution en fonction du temps $t$ (exprimé en heures) du taux d'alcoolémie dans le sang (exprimé en grammes par litre) est donné à l'instant $t$ par la formule : $4t \text{e}^{-t}$.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[ f(t) = 4t \text{e}^{-t}\]

et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ 
dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 5~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que la limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à zéro. Interpréter graphiquement ce résultat 
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur  $[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer $f'(t) = 4\text{e}^{-t}(1 - t)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ : on y précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$∑
	\end{enumerate} 
\item Montrer que l'équation $f(t) = 0,5$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [3~;~4].
 
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et complèter le tableau de valeurs suivant :
		
\emph{Les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-1}$ près.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&0,5& 1	& 2 &3 	&4 	&5  \\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ représentative de $f$ dans le repère orthogonal 
		
\Oij. 
		\item Au bout de combien de temps le taux d'alcool dans le sang est-il maximal ? 
		\item Chez un conducteur, le taux maximal autorisé est 0,5~g/l.
		
À l'aide de la courbe, déterminer à quels instants le conducteur est en infraction. Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document de l'exercice 2}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-3)(5.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1.5pt,griddots=8](-3,-3)(5,4)
\psplot{-1.5}{1.5}{2 x mul 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1.5708}{4.71238}{x 180 mul 3.14159 div sin 2 mul 1 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1.5708,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[u](4.71238,0){$\frac{3\pi}{2}$}\uput[u](-1.5708,0){$-\frac{\pi}{2}$}
\uput[u](0.9,3){(T)} \uput[ur](2.3,2.3){$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$}
\psline[linestyle=dashed](-1.5708,0)(-1.5708,-1)
\psline[linestyle=dashed](1.5708,0)(1.5708,3)
\psline[linestyle=dashed](4.71238,0)(4.71238,-1)
\uput[d](5.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}\uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}