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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat    septembre 2005}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P.A. }}
\rfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{Baccalauréat  S.T.A.E.-S.T.P.A. \\ Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion\\
    septembre 2005\\
    MATHÉMATIQUES ET TRAITEMENT DE DONNÉES}} 
\vspace{0,5cm}    
    (Coefficient : 2 - Durée : 2 heures)
    
L'utilisation d'une calculatrice et du formulaire est autorisée

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip
 
On a interrogé 108~élèves des Terminales STAE et STPA d'un lycée agricole pour connaître leurs projets de poursuites d'études.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 5/9 des élèves sont des garçons; 
\item[$\bullet~$] 1/9 des élèves dont 10 filles souhaitent entrer \og prépa TB \fg{} (préparation aux Écoles 
nationales agronomiques et vétérinaires); 
\item[$\bullet~$]  La moitié des élèves souhaitent s'inscrire en BTS GPN et parmi eux, 2/3 sont des garçons; 
\item[$\bullet~$] 9 élèves sont indécis, dont deux fois plus de garçons que de filles; 
\item[$\bullet~$] Les autres élèves souhaitent s'inscrire dans un autre BTS.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Prépa TB& BTS GPN &Autres BTS &Indécis &Total \\ \hline
Filles	&		&			&		&		& \\ \hline 
Garçons	&		&			&		&		& \\ \hline 
Total	&		&			&		&		&108 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  On choisit un élève au hasard. On considère les évènements suivants :
 
A: \og l'élève souhaite s'inscrire en BTS (GPN ou autre) \fg{};

B: \og l'élève est une fille \fg. 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p$(A), $p$(B), $p(\text{A} \cap \text{B})$. 
		\item L'élève choisie est une fille. Quelle est la probabilité qu'elle demande à  s'inscrire en prépa TB ?
	\end{enumerate} 
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 6 points}

\medskip
	
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
La courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document est la représentation graphique dans un repère orthogonal de la fonction $g$ définie et dérivable sur $\R$. La droite (T) est  tangente à $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ au point A d'abscisse $0$. La droite (D) est asymptote à $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Par \textbf{lecture graphique}, répondre aux questions suivantes en expliquant la démarche adoptée :
 
\begin{enumerate}
\item Donner $g(0),~ g'(0)$. 
\item Donner la limite de $g$ en $+\infty$. 
\item Résoudre l'inéquation : $g(x) \geqslant  2$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document représente la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(x) = 2 + x\text{e}^{-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $G$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[G(x) = (- x  - 1)\text{e}^{-x} + 2x.\]

Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur $\R$. 
\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 9 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[-\pi~;~\pi]$ par :

\[f(x) = \cos x - x\]

et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$  la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal \Oij{} donné dans l'annexe, (à rendre avec la copie).
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$. 
		\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[-\pi~;~\pi],~ f'(x) \leqslant 0$. 
		\item Résoudre sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$ l'équation $f'(x) = 0$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$.
		 
On précisera les valeurs exactes de $f(-\pi)$ et $f(\pi)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant : 
		
Les valeurs numériques de $f$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\rule[-3mm]{0m}{9mm}$x$&$- \pi$&$- \dfrac{3\pi}{4}$&$- \dfrac{\pi}{2}$&$- \dfrac{\pi}{4}$&$0$&$\dfrac{\pi}{4}$&$\dfrac{\pi}{2}$&$\dfrac{3\pi}{4}$&$\pi$\\ \hline 
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
		\item Tracer l'allure de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et sa tangente au point d'abscisse $-\dfrac{\pi}{2}$  dans le repère \Oij{} de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ admet une seule solution $\alpha$. 
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document de l'exercice 2}

\vspace{1,5cm}

Courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=10](-3,-3)(4,4)
\psline[linewidth=1.5pt](-3,2)(4,2)\uput[u](-2.5,2){(D)}
\psline(-2.5,-0.5)(2,4)\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](1.6,3.6){(T)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-1.3}{4}{x 2.71828 x exp div 2 add}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(4,4)
\uput[ul](0,2){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE ¿ COMPL…TER ET ¿ RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-4,-5)(4,2.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=10](-4,-5)(4,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(-4,-5)(4,2.25)
\psdots[dotstyle=|](-3.14159,0)(-2.3562,0)(-1.5708,0)(-0.7854,0)(0.7854,0)(1.5708,0)(2.3562,0)(3.14159,0)
\uput[d](-3.14159,0){$-\pi $}\uput[d](-2.3562,0){$- \dfrac{3\pi}{4}$}\uput[d](-1.5708,0){$- \dfrac{\pi}{2} $}\uput[d](-0.7854,0){$- \dfrac{\pi}{4} $}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.7854,0){$\dfrac{\pi}{4}$}\uput[d](1.5708,0){$\dfrac{\pi}{2}$}\uput[d](2.3562,0){$\dfrac{3\pi}{4}$}\uput[d](3.14159,0){$\pi$}
\uput[d](3.8,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{document}