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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement \\Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion\\ session septembre 2006}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip
 
Dans l'étalage d'un fleuriste, se trouve un vase contenant 10~tulipes jaunes et 5~tulipes rouges. Un client constitue un bouquet de 4 tulipes choisies au hasard dans ce vase.
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'il y a \np{1365}~bouquets possibles. 
\item  On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tulipes rouges dans un bouquet. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les différentes valeurs $x_{i}$ que peut prendre $X$ ? 
		\item  Calculer les probabilités $p_{i}$ correspondant aux valeurs $x_{i}$ trouvées en a. : on laissera les $p_{i}$ sous forme de fractions de dénominateur égal à \np{1365}. 
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant, résumant la loi de probabilité associée à la variable aléatoire $X$.
		
		\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.6}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$								&0	& 1 &2 	&3 	&4\\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right) = p_{i}$	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item  Calculer à $10^{-4}$ près l'espérance mathématique de $X$, notée E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :

\[ f(x) = \sin x(\sin x -1).\]

On note $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f'(x) = \cos x(2\sin x - 1)$. 
\item  Résoudre sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ l'équation : $f'(x) = 0$. Que peut-on en déduire pour $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ? 
\item  Soit A le point de la courbe d'abscisse $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer la valeur exacte de l'ordonnée  de A. 
\item  Donner une équation de la tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~4]$ par : 

\[g(x) = x^2 - 5x + 4 + 2\ln x\]

et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la limite en $0$ de $g$. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item  Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~4],~g'(x) = \dfrac{2x^2 - 5x + 2}{x}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $2x^2 - 5x + 2$ sur $]0~;~4]$. 
		\item En déduire que $g'(x) \leqslant 0$ si et seulement si : $\dfrac{1}{2} \leqslant  x \leqslant  2$.
	\end{enumerate} 
\item  Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~4]$. On donnera les valeurs exactes de $g(4),~g(2),~g\left(\dfrac{1}{2}\right)$. 
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\emph{Les valeurs numériques de $g$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.}
 
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.6}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,1&0,5&1	&1,5&2	&3	&4\\ \hline
$g(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Construire la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ sur $]0~;~4]$ dans le repère \Oij. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]2~;~3[$. 
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}