\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STAV},
pdftitle = {Métropole juin 1998},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion Mayotte}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\[3pt] Métropole  La Réunion Mayotte juin 1998}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 7 points}

\medskip

Les \np{1200} agents d'une entreprise ont été classés suivant leur sexe et leur couleur
de cheveux. On a obtenu le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Femmes &Hommes\\ \hline
Bruns &300 &500\\ \hline
Blonds &200 &200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On choisit un agent au hasard et on considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $B$ : \og l'agent est brun \fg{} ; 
\item[ ] $F$ : \og l'agent est une femme \fg{}; 
\item[ ] $H$ : \og l'agent est un homme \fg.
\end{description}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que l'agent soit brun ?
		\item Quelle est la probabilité pour que l'agent soit une femme ?
		\item Quelle est la probabilité pour que l'agent soit une femme brune ?
		\item Les évènements $B$ et $F$ sont-ils indépendants ?
		\item Quelle est la probabilité pour que l'agent soit un homme brun ou une femme  ?
	\end{enumerate}
\item  Calculer la probabilité pour que l'agent soit brun sachant que c'est un homme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points}

\medskip

Vous disposez ci-dessous de la représentation graphique, dans un repère
orthonormal \Oij, unité graphique 1 cm, d'une fonction $g$, définie et dérivable
sur $]- \infty~;~2[$.

Les asymptotes sont représentées par des droites parallèles aux axes gradués,

Deux segments de droites, l'un parallèle à l'axe des $x$, l'autre oblique, sont des
segments de tangentes à la courbe.

\smallskip

\emph{Vous répondrez aux questions suivantes à raide d'une \textbf{simple lecture graphique} en rédigeant la démarche adoptée.}

\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-9.1,-4.1)(3.1,6.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=cyan](-9,-4)(3,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-9,-4)(3,6)
\psline(2,-4)(2,6)\psline(-9,1)(5,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-9}{1.475}{x 2 add x 1 sub mul x 2 sub dup mul div}
\psline(-1.5,-0.6)(2.5,-0.6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{x 2  mul 2 sub}
\uput[d](4.8,0){$x$} \uput[l](0,5.8){$y$}\uput[ul](0,0){O}
\uput[l](1.5,5.5){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la limite de $g$ en $- \infty$ et la limite de $g$ au point 2.
\item Donner $g(1)$ et $g'(1)$.
\item Résoudre dans $]- \infty~;~2[$ les équations et inéquations :
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) < 0$ ; 
		\item $g'(x) = 0$ ; 
		\item $g'(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 8 points}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $]- \infty~;~2]$ par :

\[ f(x) = (1- x)\text{e}^x - \dfrac{1}{2}.\]

\begin{enumerate}
\item On admettra le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Que peut-on en déduire ?
	\end{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = - x\text{e}^x$. 
	
Étudier le signe de $f'$ sur $]- \infty~;~2]$.
\item Déduire du 1. et du 2. le tableau des variations de $f$ sur $]- \infty~;~2]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $]- \infty~;~2]$ deux solutions $\alpha$ et $\beta$ vérifiant $\alpha < 0$ et $0 < \beta < 2$.
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ définie sur 
	$]- \infty~;~2]$ par $F(x) = (ax + b )\text{e}^x -  \dfrac{1}{2}x$ soit une primitive de $f$.
\end{enumerate}
\end{document}