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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat    juin 2004}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P.A. }}
\rfoot{\small{France--Réunion}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement \\Métropole--La Réunion
   juin 2004}

L'utilisation d'une calculatrice et du formulaire est autorisŽée

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 5 points}

\medskip

Il y a sur une étagère 10 livres de formats identiques : 6 livres d'une collection A et 4 livres d'une collection B. Un enfant choisit, simultanément et au hasard, 4 livres.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il y a 210 possibilités de choisir ces 4 livres.

\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de livres de la collection A choisis parmi les 4.

	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les différentes valeurs $x$ que peut prendre $X$ ?

		\item Calculer les probabilités $p$ correspondant aux valeurs $x$ trouvées en \textbf{a.}, puis recopier et compléter le tableau suivant, résumant la loi de probabilité associée à la variable aléatoire $X$.

\textsl{Les résultats seront donnés sous forme de fractions dont le dénominateur est} 210.

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$							&0	&1	&2	&3	& 	4 \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right) = p_{i}$	&  	&  	&  	&  	&  \\ \hline
\end{tabularx}\]

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

La courbe $\left(C_{f}\right)$ donnée dans le document est la représentation graphique sur $[-4~;~4]$ dans un repère orthogonal, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \cos (2x).\]

\begin{enumerate}
\item  Par \textbf{lecture graphique} et en expliquant par une phrase la démarche adoptée : 

	\begin{enumerate}
		\item Préciser la parité de la fonction $f$ sur $[- 4~;~4]$.

		\item Résoudre sur $[-4~;~4]$ l'équation $f(x) = -1$.

		\item Résoudre l'équation : $f'(x) = 0$ sur $[0~;~ \pi]$.

	\end{enumerate}
	
\item \textbf{Étude théorique}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.

		\item Retrouver par le calcul les solutions de équation $f'(x) = 0$ sur $[0~;~\pi]$.

		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $(C_{f})$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{4}$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.8pt,griddots=8](-4,-4)(4,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=8000]{-4}{4}{x 360 mul 3.14159 div cos}
\uput[ur](1,0){1}\uput[ul](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](1.5708,0){$\dfrac{\pi}{2}$} \uput[d](3.14159,0){$\pi$}
\psline[linestyle=dashed](1.5708,0)(1.5708,-1)
\psline[linestyle=dashed](3.14159,0)(3.14159,1) 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

On traite des bactéries par un antiseptique dans un milieu fermé. L'expression approximative, en fonction du temps $t$ exprimé en secondes, du nombre de bactéries restant à tout instant $t$ dans le milieu étudié est : $\nombre{100000}\text{e}^{-0,4t}$
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 

\[g(t) = \nombre{100000}\text{e}^{-0,4t}.\]

On note ($\Gamma_{g})$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal \Oij, d'unités graphiques 1~cm pour 1 seconde en abscisses et 1~cm pour $\nombre{10000}$ unités en ordonnées.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de bactéries à l'instant $t = 0$ puis à l'instant $t = 10$ (valeur arrondie à l'unité près).

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction $g$. Interpréter graphiquement le résultat.

		\item Calculer $g'(t)$ pour $t$ élément de $[0~;~+\infty[$.

		\item Montrer que $g$ est décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

		\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.

	\end{enumerate}

\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\textsl{Les valeurs numériques de $g$ seront arrondies à l'unité près.}

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&	0&	2&	4&	6&	8&	10& 	12\\ \hline
$g(t)$	&   &   &   &  &  &  &\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Construire la courbe 	($\Gamma_{g})$ dans le repère orthogonal \Oij.

\item	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $G(t) = - \nombre{250000}\text{e}^{0,4t}$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.

		\item Calculer la valeur exacte du réel $I = \displaystyle\int_{0}^{10}g(t)\:\text{d}t$.

	\end{enumerate}

\item Le réel $\dfrac{I}{10}$ représente le nombre moyen de bactéries dans ce milieu entre les instants $0$ et $10$. Calculer ce nombre moyen, arrondi à l'unité près.
\end{enumerate}
\end{document}