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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat septembre 2001}
\lfoot{\small{Série S.T.A.E.-S.T.P{}.A. }}
\rfoot{\small{Métropole }}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat S.T.A.E.-S.T.P{}.A.~\decofourright\\ Métropole septembre 2001}}    

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 4,5 points}

\medskip

Un laboratoire possède un lot de souris dont 40\,\% sont grises et 60\,\% sont blanches.

Parmi les souris grises, 20\,\% ont une maladie M. On sait également que 12\,\% du total des souris sont blanches et ont la maladie M.

On considère les évènements :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $B$ : \og Être une souris blanche \fg.
\item[ ] $G$ : \og Être une souris grise \fg.
\item[ ] $M$ : \og Être une souris malade de la maladie M \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

\emph{On pourra utiliser une représentation en arbre ou tableau pour décrire cette situation.}

\smallskip

On retire du lot une souris au hasard.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que cette souris soit malade.
\item Déterminer la probabilité sachant qu'elle est malade, que cette souris soit grise.
\item Les évènements $B$ et $M$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 4 points}

\medskip

Une machine permet de fabriquer des tiges métalliques. 

On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le diamètre, exprimé en millimètres, de ces tiges. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $5$ et écart-type $0,1$.

On pourra utiliser une table de loi normale centrée réduite pour répondre aux questions suivantes et on donnera une valeur approchée des résultats à 10-3 près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le diamètre d'une tige prélevée au hasard soit inférieur à 5,125~mm.
\item Déterminer la probabilité que le diamètre d'une tige prélevée au hasard soit compris entre 4,85~mm et 5,15~mm.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : \hfill 11,5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ présentée dans le document en annexe est la représentation graphique dans le repère orthonormal
\Oij{} d'unité graphique 2~cm, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur 
$[- 1,2~;~+ \infty[$.

Les droites $(T)$ et $(T')$ sont les tangentes à $\left(\mathcal{C}_f\right)$  aux points d'abscisses respectives $0$ et $2$.

La droite $(T)$, parallèle à l'axe des abscisses, est aussi asymptote à 
$\left(\mathcal{C}_f\right)$  en $+ \infty.

\smallskip

\emph{Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en expliquant la démarche adoptée} :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Donner une valeur approchée de $f(2)$.
\item Résoudre :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$.
		\item $f'(x) = 0$.
		\item $f(x) < 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction numérique $f$ de la partie A est définie sur 
$[- 1,2~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 2 - x^2\text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. On pourra utiliser : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2} = + \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Montrer que $f'(x)$ est du signe de $x(x - 2)$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $[- 1,2~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[- 1,2~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[- 1~;~- 0,5]$.
		\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $[- 1,2~;~+ \infty[$ par 
		
		\[F(x) = 2x + \left(x^2 + 2x + 2\right)\text{e}^{-x}\]
		
est une primitive de la fonction $f$ sur $[- 1,2~;~+ \infty[$.
		\item Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$. 

On donnera sa valeur exacte en unités d'aire puis une valeur
approchée en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psframe[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt](-2.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-3,-4)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(5.5,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.2}{5}{2  x dup  mul 2.71828 x exp div  sub}
\psline[linewidth=1.25pt](-3.5,1.5)(5.5,1.5)
\psline[linewidth=1.25pt](-3.5,2)(5.5,2)
\uput[dr](-2.4,2){$(T)$}\uput[r](-1.2,-2.8){\blue $\left(\mathcal{C}_f\right)$}
\uput[dr](-2.4,1.5){$(T')$}
\uput[d](5.3,0){$x$}\uput[l](0,3.35){$y$}
%\psdots[linecolor=red](0,2)(2,1.5)
%\uput[ur](0,2){\red A}\uput[dr](2,1.5){\red B}
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}