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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Françoise Poirier pour le sujet
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vv{\imath},~\vv{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Correction \hspace{3mm}Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright \\Nouvelle--Calédonie novembre 2010\hspace{3mm}Correction}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Dans un restaurant, pendant le service du midi, on a interrogé les clients pour savoir s'ils avaient accompagné leur plat principal d'une entrée et/ou d'un dessert.
 
On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 80\,\% des personnes interrogées n'ont pas pris d'entrée ; 
\item[$\bullet~$] Parmi celles-ci, 70\,\% ont pris un dessert ; 
\item[$\bullet~$] 50\,\% des personnes ayant pris une entrée ont également pris un dessert.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On appelle E l'événement : \og la personne a pris une entrée \fg{} 

et D l'événement: \og la personne a pris un dessert \fg. 

\begin{enumerate}
\item  Construisons l'arbre de probabilités, en précisant les probabilités sur chacune des branches. 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E$}\taput{\small{$\np{0.20}$}}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{\small{$0,50$}}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small{$0,50$}}   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E}$}\tbput{\small{$0,80$}}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\small{$0,70$}}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small{$0,30$}}  
	  }
	
}
\end{center}
 %\emph{Les probabilités seront données sous forme décimale et notées sur les branches de l'arbre.} 
 
\item Calculons la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait pris une entrée et un dessert. 
\[P( E \cap D) = P(E)\times P_{E}(D)=\np{0.2}\times \np{0.5}=\np{0.1}.\] 
\item Calculons la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait pris un dessert. 
\[P(D)=P( E \cap D)+ P(\overline{E}\cap D)= \np{0.1}+\np{0.8} \times \np{0.7}=\np{0.66}.\]
\item On interroge une personne ayant pris un dessert. Calculons la probabilité qu'elle ait également pris une entrée.
\[P_{D}(E)=\dfrac{P(E \cap D)}{P(D)}=\dfrac{\np{0.1}}{\np{0.66}}\approx \np{0.15}.\]
% \emph{Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près}. 
\item  Les événements $E$ et $D$ sont indépendants si $P(E \cap D)= P(E)\times P(D)$.

$P(E \cap D)=\np{0.1} $ et $P(E)\times P(D)=\np{0.2}\times \np{0.66}=\np{0.132}$.

 Les événements ne sont pas indépendants. 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
%\emph{Dans cette partie, les résultats numériques seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

On admet que 10\,\% des clients qui mangent dans le restaurant prennent un menu complet: \og entrée -- plat -- dessert \fg. 

On choisit au hasard 20~clients pour les interroger. On admet que ce choix est assimilable à des tirages successifs avec remise. On appelle X la variable aléatoire indiquant le nombre de personnes ayant pris un menu complet.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (20;\ \np{0.1}) par conséquent $p(X=k)=\binom{20}{k}(\np{0.1})^k(\np{0.9})^{20-k}$.
 \vspace{1cm}
\item  Calculons la probabilité des événements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item \og Aucun des 20 clients interrogés n'a pris un menu complet\fg{} ; \[p(X=0)=(\np{0.9})^{20}\approx \np{0.1216}.\]

		\item \og 5 clients exactement ont pris un menu complet\fg{} ; \[p(X=5)=\binom{20}{5}(\np{0.1})^5(\np{0.9})^{15}\approx \np{0.0319}.\]

		\item \og Au moins un client a pris un menu complet \fg. L'événement est réalisé si l'événement contraire  ne l'est pas. \[ p(X \geqslant 1)=1-p(X=0)=1-(\np{0.9})^{20}\approx \np{0.8784}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en annexe A  est la représentation graphique  dans un repère orthogonal \Oij, d'une fonction $f$ dérivable sur $]0~;~+ \infty[$.
 
La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1. 
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique:
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{ x \to 0\\x > 0}} f(x)=0$ . 
		\item $f(1)=0$.
	\end{enumerate} 
\item  Par lecture graphique: 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(1)=-5$.  Nous lisons le coefficient directeur de $T$.

 Cette droite passe par  les points de coordonnées $(0~;~5)$ et $(1~;~0)~;\quad m=\dfrac{0-5}{1-0}$.
		\item Une équation de la tangente $T$ est alors $y=-5x+5$.
	\end{enumerate}		 
\item  On admet que $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = ax^2 \ln x,~ \text{où \og a \fg~ est un nombre réel.}\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons  $f'$, fonction dérivée de $f$.

 $f^\prime (x)=a(2x)\ln(x)+ax^2 \left(\dfrac{1}{x}\right)=2ax\ln(x)+ax$. 
		\item à  la question 2. a., nous avons montré que $f^\prime(1)=-5.$

 Calculons $f^\prime(1)$. $f^\prime(1)=2a\times 0+ a=a =-5$.

 La valeur du nombre réel $a$ est donc $-5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip 

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$, ensemble des nombres réels, par 

\[g(x) = (-2x + 1)\text{e}^{- x + 1}.\]

On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses ;
\item 1~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)= +\infty$. En effet $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\text{e}^{-x+1}=+\infty \quad\text{et }\lim_{x\to -\infty}(-2x+1)=+\infty$.
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) =  0$. L'axe des abscisses est asymptote en $+\infty$, à la courbe représentative de $g$ .  
\item  Démontrons que $g'(x) = (2x - 3)\text{e}^{- x + 1}$ pour tout $x$ réel. 
\begin{align*}
g^\prime(x)&= -2 \left(\e^{-x+1}\right)+\left(-2x+1\right)\left(-1\right)\left(\text{e}^{-x+1}\right) ;\\
&=-2\text{e}^{-x+1}+\left((2x-1)\text{e}^{-x+1}\right );\\
&=\left(2x-3\right )\text{e}^{-x+1}.\\
\end{align*}\vspace{-1.18cm}
\item  Pour tout $x \in \R, \quad  \text{e}^{-x+1}>0$ par conséquent $g'(x)$ est du signe de $\left(2x - 3\right )$ sur $\R$. 

Il en résulte que, si $x\in \left]-\infty~;~\frac{3}{2}\right[ \quad g^\prime(x)< 0$ et si  $x\in \left]\frac{3}{2}~;~+\infty\right[ \quad g^\prime(x)> 0$.

--- Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

 $g'(x) <0$ pour $x\in \left]-\infty~;~\frac{3}{2}\right[$ par conséquent $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

--- Si pour tout $x\in I,\,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

$g'(x) >0$ pour $x\in \left]\frac{3}{2}~;~+\infty\right[$  par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de $g$.  

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](4.5,2.35){$\tfrac{3}{2}$}                 \uput[u](7.75,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}$}\uput[u](2.6,2){$-$}\uput[u](6.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
\uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.25,1.99){$+\infty$}\uput[u](4.5,0.05){$-2\e^{-\tfrac{1}{2}}$}\uput[d](7.82,1.99){$0$}
\psline{->}(1.45,1.59)(3.9,0.25) \psline{->}(5.1,0.25)(7.73,1.60)
\end{pspicture}
\end{center}

 $g\left(\frac{3}{2}\right)=(-2\times \frac{3}{2}+1)\text{e}^{-\tfrac{3}{2}+1} = - 2\text{e}^{-\frac{1}{2}}$ 
\item Le tableau de valeurs de la fonction $g$ est complété sur l' \textbf{annexe A}. 
\item Traçons  la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et sa tangente au point d'abscisse $\frac{3}{2}$ ; voir à la fin . 
\end{enumerate}

%\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE A }%(à compléter et à rendre avec la copie)} 

\vspace{1 cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2}\end{flushleft}

\medskip

\textbf{Représentation graphique de} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

\psset{xunit=4.4cm,yunit=0.44cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-15)(2.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,-15)(2.5,10)
\multido{\n=0.0+0.5}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-15)(\n,10)}
\multido{\n=-15+5}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{2.0466}{x dup mul x ln mul 5 neg mul}
\psplot[plotpoints=5000, linewidth=1pt, linecolor=cyan]{0}{2.5}{5 neg x mul 5 add}\uput[u](1.8,-4){$T$}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.75} 
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		& $-0,7$	&$-0,5$	&0	&1 	&1,5	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$g(x)$	&$13,1$			&	$9,0$	&$2,7$	&$-1$	&$-1,2$		&$-1,1$&$-0,7$	&$-0,3$	&$-0,2$	&$-0,1$ \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 
	\emph{Les résultats sont arrondis à $10^{-1}$ près.}
	
\vspace{1cm}
 
{\textbf La courbe \boldmath $\mathcal{C}_{g}$ \unboldmath et sa tangente au point d'abscisse \boldmath $\frac{3}{2}$ \unboldmath.}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(6.5,13.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(6.2,13.45)
\multido{\n=-1+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-2)(\n,13)}
\multido{\n=-2+1}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-1,\n)(6,\n)}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.7}{6}{2 neg x mul 1 add 2.71828 x neg 1 add  exp mul}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{<->}(0.75,-1.21306)(2.25,-1.21306) \uput[u](-0.8,12){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{document}