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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Métropole, Antilles--Guyane, La Réunion juin 2010}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions.}

\medskip
 
Sur l'étagère d'un magasin, il y a 20~paquets de sucre cristallisé parmi lesquels 4 ont un poids insuffisant. Une cliente, désireuse de faire des confitures, prend au hasard 3~paquets de sucre sur cette étagère.
 
\begin{enumerate}
\item Combien a-t-elle de choix possibles ?
 
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] A : \og Les 3 paquets ont un poids satisfaisant \fg
 
\item[ ] B : \og Au moins l'un des 3 paquets a un poids insuffisant \fg
\end{description}
 
\item Soit X la variable aléatoire égale au nombre de paquets ayant un poids satisfaisant parmi les trois 
paquets achetés. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par X ? 
		\item Déterminer la loi de probabilité de X. 
		\item Calculer l'espérance de X.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 QCM \hfill 4 points}

\medskip 

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée dans le document 1 représente une fonction $f$ dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$.
 
La droite $D$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ en $- \infty$ et tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$. La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
 
Les courbes 1, 2 et 3 représentent trois fonctions définies sur $\R$. 

Le QCM est donné en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie). Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

 
\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip 

Soit la fonction numérique $g$ définie sur l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 4x - 1 + \dfrac{4}{x + 2}\]

et $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra pour unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  3 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 
\item  1 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $- 2$ et interpréter graphiquement ce résultat. 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ et démontrer que $g'(x) = \dfrac{(2x + 2)(2x + 6)}{(x + 2)^2}$		pour tout $x$ de l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$. 
 
		\item Justifier que $g'(x)$ est du signe de $(2x + 2)$ sur $]- 2~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]- 2~;~+ \infty[$. On calculera $g(-1)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$.  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe A.
		 
\emph{Les valeurs numériques de $g$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.} 
		\item Construire la courbe $\mathcal{C}_{g}$, la tangente $T$ et les asymptotes éventuelles.
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par $H(x) = \ln (x + 2)$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 2~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire une primitive $G$ de $g$ sur $]- 2~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$.
		
En donner ensuite, la valeur en cm$^2$, arrondie au mm$^2$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT 1}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-2)(2,5)
\psplot{-3}{2}{x 2 add}
\uput[dl](0,0){O}
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-6,2.9)(-4,2.7)(-3,1.6)(-1,1.5)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-1,1.5)(0,1.75)(0.25,2.35)(0.7,2.8)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.7,2.8)(1.4,4)(1.9,0)(1.95,-0.9)
\psline(-6,3)(2,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-2)(2,5)
\uput[u](-2,5){\textbf{Représentation graphique de}\boldmath $f$ \unboldmath}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}
\begin{tabular}{cc}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-5)(2,5)
\uput[dl](0,0){O}
\pscurve(-6,0.01)(-4,0.17)(-2,1)(-1,2)(0,3.3)(0.75,4.2)(1,4)(2,-4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-5)(2,5)
\uput[d](-2,-5){\textbf{Courbe 1}}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-6)(2,5)
\uput[dl](0,0){O}
\pscurve(-6,-0.1)(-4,-0.22)(-2.5,-0.4)(-1,0)(0,1)(0.4,1.2)(1,0)(1.5,-5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-6)(2,5)
\uput[d](-2,-6){\textbf{Courbe 2}}
\end{pspicture}\\
\end{tabular}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-2)(2,6)
\uput[dl](0,0){O}
\pscurve(-6,0.1)(-4,0.25)(-2.5,0.4)(-1,0)(0,-1)(0.5,-1.25)(1,0)(1.4,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-6,-2)(2,6)
\uput[d](-2,-2){\textbf{Courbe 3}}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}
\end{center}

\textbf{Exercice 2 : QCM}

\medskip

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie sera zéro.}

\bigskip
 
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
 
\textbf{Cocher}, pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$ (représentée dans le \textbf{document 1}) en $- \infty$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
$- \infty$& 3&$+ \infty$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Une équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}  
$y = x + 2$&$y= 2x + 1$& $y= 2x+ 2$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item $f'(1)$ est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}   
$0$&$3$&$1$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item Quelle est, parmi les trois courbes données dans le document 1, celle qui représente la fonction dérivée de $f$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}}  
Courbe 1& Courbe 2 &Courbe 3\\
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
 
\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\emph{Les valeurs numériques de $g(x)$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.} 

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&$-1,75$& $-1,5$& $-1$ &$0$ &$0,5$ &$1$&$1,5$& $2$& $2,5$\\ \hline
$g(x)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{document}