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%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Polynésie}\hspace{5mm} Correction}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Polynésie juin 2012\hspace{5mm}Correction}}

%\bigskip

%\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{- 3}$ près si nécessaire.}

\medskip
 
Un pépiniériste utilise des arbustes pour composer des haies. Ces arbustes peuvent être à feuillage persistant ou non. Ils peuvent aussi être à fleurs ou non.
 
Le pépiniériste choisit un arbuste au hasard.
 
On note : 

$P$ l'évènement \og l'arbuste est à feuillage persistant \fg,
 
$F$ l'évènement \og l'arbuste est à fleurs \fg.
 
La situation est partiellement décrite par l'arbre de probabilités. %donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
 
\begin{enumerate}
\item On considère les probabilités données sur l'arbre. \phantom{de l'\textbf{annexe A}.}  On a : $0,65 = p(P)$. 

Les autres probabilités données sur cet arbre sont 
\begin{itemize}
\item L'arbuste n'est pas à fleurs sachant qu'il est à feuillage persistant : $\np{0,3}=p_{P}(\overline{F})$
\item L'arbuste est  à fleurs sachant qu'il est à feuillage non persistant : $\np{0,6}=p_{\overline{P}}(F)$
\end{itemize}

\item L'arbre de probabilités traduisant la situation est %en \textbf{annexe A}. 

\begin{center}

\pstree[nodesep=0.1cm,linecolor=blue,treemode=R]{\TR{$\Omega$}}
{
	\pstree{\TR{$P$}\taput{0,65}}
	  { 
		  \TR{$F$}\taput{\color{red}\np{0,7}}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{0,3}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{P}$}\tbput{\color{red}\np{0,35}}}
	  {
		  \TR{$F$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{F}$}\tbput{\color{red}\np{0,4}}	  
	  }
}
\end{center}

\item Calculons la probabilité de choisir un arbuste à feuillage persistant et à fleurs. L'évènement est noté $P\cap F$.\[p(P\cap F)=\np{0,65} \times \np{0,7}=\np{0,455}\]
\item Calculons la probabilité de choisir un arbuste à fleurs.
\[p(F)= p(P\cap F)+p(\overline{P}\cap F)= \np{0,455}+\np{0,35}\times \np{0,6}=\np{0,455}+\np{0,21}=\np{0,665}\]
\item Le pépiniériste a choisi un arbuste à fleurs. La probabilité que cet arbuste soit à feuillage persistant est$p_{F}(P)$.
\[p_{F}(P)=\dfrac{p(P\cap F)}{p(F)}=\dfrac{\np{0,455}}{\np{0,665}}\approx \np{0,684}\]
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les résultats seront donnés sous forme de fractions.
 
Pour planter une haie, le pépiniériste choisit au hasard et simultanément 4 arbustes dans un lot de 16 dont 6 sont à fleurs.

L'univers $\Omega$ est l'ensemble des choix possibles pour planter la haie. La loi de probabilité mise sur l'univers est la loi équirépartie. La probabilité d'un évènement $A$ est $p(A)=\dfrac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de }\Omega }$
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons le nombre de choix possibles de ces 4 arbustes.

 Nous choisissons 4 arbustes parmi  16 soit $\binom{16}{4}$ . Il y a \np{1820} choix possibles.
 \end{enumerate}
On note $C$ l'évènement \og la haie comporte 3 arbustes à fleurs\fg{} et $D$ l'évènement \og la haie comporte au moins un arbuste à fleurs \fg. 
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculons la probabilité que la haie comporte 3 arbustes à fleurs.

 Nous choisissons 3 arbustes à fleurs parmi les 6 et nous complétons par un arbuste parmi les 10 qui ne sont pas à fleurs.  $\binom{6}{3}\times \binom{10}{1}= 200$.
Il y a donc 200 choix possibles. 
\[p(C)=\dfrac{200}{\np{1820}}=\dfrac{10}{91} \]
\item Calculons la probabilité que la haie comporte au moins un arbuste à fleurs. 

Calculons d'abord la probabilité de l'évènement contraire \og La haie ne comporte aucun arbuste à fleurs\fg{}. Nous choisissons donc 4 arbustes parmi les 10 qui ne sont pas à fleurs. $\binom{10}{4}=210$. Il y a 210 choix possibles. Par conséquent, \[p\left(\overline{D}\right)=\dfrac{210}{\np{1820}}=\dfrac{3}{26} \ \text{et } p(D)=1-p\left(\overline{D}\right)=1-\dfrac{3}{26}=\dfrac{23}{26}.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip
 
Soient $f$ une fonction définie sur $[-2~;~4]$ et $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
La courbe représentative de la fonction dérivée $f^{\prime}$, notée $\mathcal{C}_{f^{\prime}}$. est donnée dans le document 1. On notera $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après la représentation graphique de $f^{\prime}$,  le tableau de signe de $f^{\prime}(x)$ est %fourni en \textbf{annexe A}.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X}|}\hline
$x$&$- 2$&   & $- 1$& & $2$ &  & $3$ & & 4\\ \hline
signe de $f^{\prime}(x)$& &$-$&\hspace{0.05 cm}0&+&0&$-$&0&+&\\ \hline
\end{tabularx}

\item Étudions les variations de $f$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$. 

Si pour tout $x\in I,\:f^{\prime}(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

$f^\prime(x)>0$ pour  $x \in ]-1~;~2[$  ou pour $x \in ]3~;~4]$ donc $f$ est strictement croissante sur chacun de ces  intervalles.

Si pour tout $x\in I,\:f^{\prime}(x)< 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 $f^\prime(x) < 0$ pour  $x \in [-2~;~-1[$ ou pour $x \in ]2~;~3[$ donc $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces  intervalles.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{9}{c}|}
\hline
$x$&$-2$&   & $-1$& & $2$ &  & $3$ & & 4\\ \hline
signe de $f^{\prime}(x)$& &$-$&\hspace{0.05 cm}0&+&0&$-$&0&+&\\ \hline
Variations de $f$&&$\searrow $&&$\nearrow$ &&$\searrow$& &$\nearrow$ & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item \textbf{QCM} %donné en \textbf{annexe A}.
 
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette question sera zéro.

\hspace{0.5cm}\textbf{a.} Par lecture graphique, on obtient :

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box$ \hspace{-3.5mm} \ding{52}~~$f^{\prime}(1) = 4$&$\Box~~ f^{\prime}(1)= - 3$&$\Box~~ f^{\prime}(1)= 6$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\hspace{0.5cm}\textbf{b.} L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $x = 1$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$\Box~~y = - 3x + 8$&$\Box~~ y = 8x + 3$&$\Box$ \hspace{-3.5mm} \ding{52}~~$y = 4x + 12$\\
\end{tabularx}
{\footnotesize Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$. 
 
Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $x = 1$ est 4. (question précédente)}
 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 1 - \dfrac{2}{x}  - \text{e}^{- x}.\]
 
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal, notée $\mathcal{C}_{g}$, est donnée dans le document 1.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \begin{itemize} \item[\textbullet] Déterminons la limite de $g$ en $0$. $\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=-\infty $ 

car $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(1- \dfrac{2}{x}\right)=-\infty$  et  $\displaystyle \lim_{x\to 0}-\e^{-x}=-1$.

Nous en déduisons que $\mathcal{C}_{g}$ est asymptote à l'axe des ordonnées lorsque $x$ tend vers~0.
\item [\textbullet] en $+ \infty$.
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x)=1 $ 

car $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(1- \dfrac{2}{x}\right)=1$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}-\e^{-x}=0$

Par conséquent $\mathcal{C}_{g}$ est asymptote à la droite d'équation $y = 1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
\end{itemize} 
\item Calculons $g^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\[g^\prime(x)=0 -2\times \left(\frac{-1}{x^2}\right)-(-\e^{-x})=\dfrac{2}{x^2}+\e^{-x}\]
\item  $g^{\prime}(x) > 0$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ comme somme et quotient de termes strictement positifs.

Dressons le tableau de variations de $g$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

$g^\prime(x)>0$ pour  $x \in ]0~;~+\infty[$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$}      \uput[u](7.65,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(x)$}\uput[u](4.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.37,0.51){$-\infty$}\uput[d](7.8,1.95){$1$}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.5,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}


\item  $g(1)=1-2-\e^{-1}=-1-\e^{-1}$ et $g^{\prime}(1)=2+\e^{-1}$. 
\item Déterminons une équation de la tangente  au point d'abscisse 1. 

L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est  $y=f^\prime(a)(x - a) + f(a)$. 

Une équation de la tangente  à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $1$ est $y=(2+\e^{-1})(x-1)-1-\e^{-1}$, soit $y = (2+\e^{-1})x - 3 - 2\e^{-1}$.  
 
\item Déterminons graphiquement le signe de $g(x)$ sur $[3~;~+ \infty[$. 

 Pour $x\in[3~;~+\infty[,\  \mathcal{C}_{g}$ est située dans le demi-plan des $y$ strictement positifs, par conséquent  $g(x)>0$. 
\item Calculons $G(x)$ où $G$ désigne une primitive de $g$ sur $]0~;~+ \infty[$. 

Sur $\R^+_*$ une primitive de $x\mapsto 1$ est $x\mapsto x$, celle  de $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est $x\mapsto \ln x\  (x>0)$ et de $x\mapsto \e^{-x}$ est $x\mapsto -\e^{-x}$, d'où

\[G(x)=x-2\ln x +\e^{-x}\]

\item 
L'aire $\mathcal{A}$  (exprimée en unité d'aire) du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équation $x = 3$ et $x = 5$ est, $g$ étant strictement positive sur [3~;~5], $\displaystyle \int^{5}_{3}g(x)\mathrm{d}x$.
\[\displaystyle \int^{5}_{3}g(x)\mathrm{d}x=\big[G(x)\big]_3^5=G(5)-G(3)=5-2\ln 5 +\e^{-5}-(3-2\ln 3 +\e^{-3})=2+2(\ln 3-\ln 5)+\e^{-5}-\e^{-3}\]
$\mathcal{A}$ vaut $2+2(\ln3-\ln5)+\e^{-5}-\e^{-3}$ unité d'aire ou  à $10^{- 2}$ près  $\np{0,94}$ unité d'aire. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{DOCUMENT 1}}
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} 
\end{flushleft}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Représentation graphique de la fonction \boldmath $f^{\prime}$ \unboldmath}

\bigskip

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-3.5)(4.5,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(4.5,7)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{3.8}{x 3 exp  x dup mul 4 mul  sub x add 6 add}
\end{pspicture}

\vspace{0,25cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3} 
\end{flushleft} 
 
\vspace{0,25cm} 

\textbf{Représentation graphique de la fonction \boldmath $g$ \unboldmath }

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(11,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-7)(11,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.274}{11}{1 2 x div sub 2.71828 x neg exp sub}
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray,hatchcolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psline(3,0)(3,0.283546)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{5}{1 2 x div sub 2.71828 x neg exp sub}
\stroke[linecolor=blue,linewidth=0.09pt]
\psline(5,0.59326)(5,0)
}
\rput(4,0.3){\color{red}$\mathcal{A}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}