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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\invalA{$~]-\infty~;~3]$}
\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Polynésie\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\Polynésie juin 2013\hspace{2em} Correction}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\textbf{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, qu'il aura développée.}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur \invalA{}  par : 

\[f(x) = \e^{x-1} - x + 3.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $f$ en $-\infty$. 
\[\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}\e^{x-1}+\lim_{x \to -\infty}(-x+3)= 0-(-\infty)=+\infty.\]
\item Déterminons $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle \invalA.  \[ f'(x)=1(\e^{x-1})-1+0=\e^{x-1}-1\]
\item 
	\begin{enumerate}
	\item  Résolvons dans \invalA{} l'inéquation : $\e^{x-1}-1\geqslant 0$. 
	
	$\e^{x-1}-1\geqslant 0\qquad\e^{x-1}\geqslant 1 \qquad x-1\geqslant \ln 1 \qquad x-1\geqslant 0 \qquad x\geqslant 1$.
	
	L'ensemble des solutions de l'inéquation est [1~;~3]
	\item Il en résulte que si $x\in]-\infty~;~1[, \  f'(x)<0$ et si $x\in ]1~;~3],\  f'(x)>0$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Si pour tout $x\in I,\  f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in ]-\infty~;1],\ f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in]1~;~3],\ f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Dressons le tableau de variation de $f$ sur\invalA.
 \begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](4.5,2.45) {$1$}    \uput[u](7.73,2.45){$3$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
 \uput[u](1.37,1.45){$+\infty$}\uput[ur](7.32,1.45){$\e^2$}
\psline{->}(1.75,1.5)(4,0.55)\psline{->}(5,0.55)(7.3,1.5)
\uput[d](4.5,0.5){$3$}
\end{pspicture}}

\end{center}
	\item $f$ admet un minimum égal à 3 pour $x=1$ par conséquent pour tout $x \in$ \invalA{} $f(x)\geqslant 3$, \emph{a fortiori}  $f(x)$ est strictement positif sur \invalA. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item  Le tableau de valeurs est complété  sur l' \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}. 	 
	\item La courbe représentative de $f$ est construite page \pageref{courbe} dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Déterminons une primitive $F$ de $f$ sur\invalA. 
	\[F(x)=\e^{x-1}-\dfrac{x^2}{2}+3x.\]	
	\item  Calculons $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x$ puis donnons la valeur arrondie à $10^{-2}$ près. 
\[\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\mathrm{d}x= \left[F(x)\right]_0^1=F(1)-F(0)=\e^0-\dfrac{1}{2}+3-\left(\e^{-1}-0+0\right)=\dfrac{7}{2}-\e^{-1} \approx\np{3.13}.\]
		Graphiquement $f$ étant strictement positif sur [0~;~1], cette valeur est en unités d'aire,  l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. L'unité d'aire valant 4 cm$^2$, l'aire de ce domaine est d'environ \np{12.52}~cm$^2$. 
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip
{\scriptsize
\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies à 0,001 près si nécessaire.} 

\medskip

Une des épreuves du concours d'entrée aux ENSA (Écoles Nationales Supérieures d'Agronomie) est un oral de biologie. 

Lors de cette épreuve, les candidats doivent répondre soit à une question de biologie animale, soit à une question de biologie végétale. Les résultats de la dernière promotion montrent que: 


\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 45\,\% des questions ont porté sur la biologie animale; 
\item [$\bullet$] parmi les candidats interrogés sur la biologie animale, 60\,\% ont été reçus au concours; 
\item [$\bullet$] parmi les candidats interrogés sur la biologie végétale, 70\,\% ont été reçus au concours.
\end{itemize}

\smallskip

On interroge au hasard un candidat de cette promotion. 

\smallskip

On note A, V et R les événements suivants: 

\medskip

\begin{description}
\item[] A : \og le candidat est interrogé sur la biologie animale\fg{} ; 
\item[] V : \og le candidat est interrogé sur la biologie végétale\fg{} ; 
\item[] R: \og le candidat est reçu au concours\fg. 
\end{description}
}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Construisons un arbre de probabilités décrivant cette situation en précisant les valeurs des probabilités sur 
chaque branche. 

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{\np{0.45}}}
	{\TR{R}\taput{\np{0.6}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.4}}
	}
\pstree{\TR{V}\tbput{\np{0.55}}}
	{\TR{R}\taput{\np{0.7}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.3}}
	}
}
\end{center}

\item Montrons que $p(\text{R}) = 0,655$. 

$p(\text{R})=p(\text{A})p_{\text{A}}(\text{R})+p(\text{V})p_{\text{V}}(\text{R})=\np{0.45} \times \np{0.6}+\np{0.55} \times\np{0.7}=\np{0.27}+\np{0.385}=\np{0.655}$
\item Le candidat est reçu au concours. 
la probabilité pour qu'il ait été interrogé sur la biologie animale est notée $p_{\text{R}}(\text{A})$. 

$p_{\text{R}}(\text{A})=\dfrac{p(\text{A}\cap \text{R})}{p(\text{R})}=\dfrac{\np{0.27}}{\np{0.655} }\approx \np{0.412}$

\item Les événements A et R sont indépendants  si $p(\text{A}\cap\text{R})=p(\text{A})\times p(\text{R})$.

$p(\text{A}\cap\text{R})=\np{0.27}\quad p(\text{A})\times p(\text{R})=\np{0.45}\times \np{0.655} \approx \np{0.294}$

Les événements A et R ne sont pas indépendants .

\item On interroge au hasard et de façon indépendante 6 candidats de cette promotion. 

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats reçus à ce concours parmi les 6. 
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0,655$. En effet, 
La loi de probabilité de X est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $6$ séries indépendantes et identiques caractérisées par  deux issues (réussite ou échec) de probabilité  $p =\np{0.655}$ et $q =\np{0.345}$ telles que $p+q=1$. 

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (6;\ \np{0.655})
 
par conséquent $p(X=k)=\binom{6}{k}(\np{0.655})^k(\np{0.345})^{6-k}$

\item Calculons la probabilité que les 6 candidats soient reçus au concours c'est-à-dire $p(\text{X}=6)$. 

$p(\text{X}=6)=(0.655)^6 \approx \np{0.079}$
\item Calculons la probabilité qu'au moins 2 candidats soient reçus au concours c'est-à-dire $p(2\leqslant\text{X}\leqslant 6)$. 

$p(2\leqslant\text{X}\leqslant 6)=1-\left(p(\text{X}=0)+p(\text{X}=1)\right)=1-(\np{0.002}+\np{0.019})=\np{0.979}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

{\footnotesize
La courbe $C$, donnée dans le \textbf{document 1}, est la représentation graphique dans un repère orthogonal, 
d'une fonction $g$ dérivable sur $\R$. 

\begin{description}
\item[] La droite $T$ est tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $-3$.
\item[] La droite $\Delta$ est tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 1. 
\item[] La droite $D$ est asymptote à $C$ en $+ \infty$.
\end{description}

Par lecture graphique, compléter le QCM donné en \textbf{annexe A}.}

{\scriptsize \emph{
Pour chaque question, une et une seule des trois réponses proposées est exacte.\\ 
Une réponse exacte rapporte 1 point. \\
Une réponse inexacte enlève 0,5 point. \\
L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point.\\ 
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice sera 0.}
 Aucune justification n'est demandée. }
\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{\large Document 1}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\smallskip

\begin{center}
\textbf{Représentation graphique de la fonction} \boldmath $g$\unboldmath 
\end{center}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=7mm}

\begin{pspicture}(-4,-5)(11,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,labelsep=0.75pt,ticksize=-1.5pt 1.5pt,tickwidth=0.9pt]{->}(0,0)(-4,-5)(10.3,7.2)
\multido{\n=-4+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,7)}
\multido{\n=-5+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-4,\n)(10,\n)}
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt](-4,1)(10,1)
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt](-4,4)(10,4)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=0.5pt,plotpoints=800]{-4}{0.5}{x 2 mul 6 add}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.2pt](-4,-4)(-3,0)(-2,1)(-1,2)(0,3.5)(1,4)(2,3.5)(3,2.9)(4,2.5)(5,2.1)(6,1.8)(7,1.57)(8,1.35)(9,1.2)(10,1.15)
\uput[d](8.5,4){$\Delta$}
\uput[d](0.5,7){$T$}\uput[ur](-4,-4){$C$}\uput[d](8.5,1){$D$}
\end{pspicture}

%\newpage

\begin{center}
\textbf{\textsc{\large Annexe A}(à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{0.5cm}
\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&$-5$ &$-4$ &$-3$&$-2$&$-1$&0&1&2 &3 \\ \hline 
$f(x)$	&\np{8.0}		&	\np{7.0}&\np{6.0}&	\np{5.0}&\np{4.1}	&\np{3.4}	&3	&\np{3.7}	&\np{7,4}\\ \hline 
\end{tabularx}
 \emph{\small Les valeurs sont arrondies à $10^{-1}$ près}.
 
\vspace{0.5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3 :} \hspace{1em} QCM}

Pour chaque question posée, la réponse qui convient,a été cochée. \\

\medskip

\begin{enumerate}
\item 	L'image de $-1$ par $g$ est: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
4& 1&\hspace{-3.5mm}\ding{52}2\\
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Le nombre dérivé de $g$ en $-3$ est: 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\hspace{-3.5mm}\ding{52}2& 6&0\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La fonction $g$ est strictement positive sur l'intervalle: 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
$]-\infty~;~1]$& $]-4~;~1]$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$]-3~;~+ \infty[$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est égale à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
0&$+ \infty$& \hspace{-3.5mm}\ding{52}1\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

%\newpage

\newgeometry{left=1cm,right=1cm,bottom=2.7cm,top=2cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5.1,-0.5)(4,9)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-5,-0.3)(4.2,8.6)
\psdot[linecolor=blue](3,7.415)
 \multido{\n=-5+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,8.7)}
  \multido{\n=0+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](-5,\n)(4.1,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{-5}{3}{2.72818 x 1 sub exp x sub 3 add }
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psline(0,0)(0,3.4)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue, linewidth=0.75pt]{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp x sub 3 add}
\psline(1,3)(1,0)
}
\end{pspicture}
\label{courbe}
\end{document}

% \begin{center}
% \psset{xunit=1.6cm, yunit=0.0024cm}
% \begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(10.3,6000)
% \psaxes[Ox=0,Oy=12000,Dx=1,Dy=1000]{->}(10.2,5500)
%  
% 
%   \psdots[dotstyle=Add,dotscale=1.2,dotangle=45](1,310)(2,1150)(3,1300)(4,855)(5,1820)(6,2490)(7,3005)
% \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{0}{10.1}{403.0357 x mul 50.71 sub}
% \rput(0.5,5650){Nombre d'abonnements}\rput(10,+100){Rang de l'année}
% \end{pspicture}
% \end{center}