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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A.P. M. E. P.}}
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\lfoot{\small{Polynésie \hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{ juin 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Polynésie  juin 2014\hspace{1.5em}Correction}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize
Dans le cadre d’une enquête auprès d’étudiants d’un lycée, on s’intéresse plus particulièrement à ceux
possédant éventuellement un smartphone, une tablette tactile ou les deux.

Les résultats sont les suivants :

\smallskip

\begin{itemize}
\item [\textbullet] 60\,\% des étudiants interrogés possèdent un smartphone ;
\item [\textbullet] Parmi ceux-ci, 25\,\% possèdent une tablette tactile ;
\item [\textbullet] 50\,\% des étudiants n’ayant pas de smartphone ne possèdent pas de tablette tactile.
\end{itemize}

\smallskip

On interroge au hasard un de ces étudiants.

\smallskip

On note $S$ et $T$ les événements suivants :
\begin{description}
\item[] $S$ : \og L’étudiant possède un smartphone\fg{} ;
\item [] $T$ : \og L’étudiant possède une tablette tactile \fg.
\end{description}

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près si nécessaire.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrivons cette situation à l’aide d’un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur
chaque branche.
\smallskip
\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$}\taput{\np{0.6}}}
	{\TR{$T$}\taput{\np{0.25}}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{\np{0.75}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$}\tbput{\np{0.4}}}
	{\TR{$T$}\taput{\np{0.5}}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{\np{0.5}}
	}
}
\end{center}
\smallskip
\item \begin{enumerate}
\item  Calculons 

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $P( S \cap T )$ : $P( S \cap T )=  P(S)\times P_{S}\left(T\right)=\np{0.60}\times \np{0.25}=\np{0.15}$.
\item [\textbullet] $P( \overline{S} \cap T )$ : $P( \overline{S} \cap T )=P(\overline{S})\times P_{\overline{S}}\left(T\right)=\np{0.40}\times \np{0.5}=\np{0.20}$.
\end{itemize}
\item La probabilité que l’étudiant possède une tablette tactile est notée $P(T)$.

$P(T)=P( S \cap T )+ P( \overline{S} \cap T )=\np{0.15}+\np{0.20}=\np{0.35}$.

La probabilité que l’étudiant possède une tablette tactile est bien de 0,35.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on interroge un étudiant qui possède une tablette tactile. Sous cette condition, la probabilité
qu’il possède un smartphone est notée  $P _{\overline{T}} ( S )$.

$P _{\overline{T}} ( S )=\dfrac{P( S \cap T )}{P(T)}=\dfrac{\np{0.15}}{\np{0.35}}\approx \np{0.429}$.


\item On interroge au hasard et de façon indépendante 10 étudiants de cet établissement.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’étudiants possédant une tablette tactile parmi les 10.
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 

Le nombre $n$ d'étudiants interrogés   est 10 et la probabilité que l'étudiant possède une tablette tactile est \np{0.35}.

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (10;\ \np{0.35}).

 Par conséquent $p(X=k)=\binom{10}{k}(\np{0.35})^k(\np{0.65})^{10-k}$
\item Calculons la probabilité que la moitié des étudiants interrogés possèdent une tablette tactile c'est-à-dire $P(X=5)$.

$p(X=5)=\binom{10}{5}(\np{0.35})^5(\np{0.65})^{5}\approx \np{0.154}$.

La probabilité que la moitié des étudiants interrogés possèdent une tablette tactile est de \np{0.154}.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} 

\medskip
{\footnotesize
Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ dont on donne le tableau de variation ci-dessous.
On note $g^\prime$ sa fonction dérivée et $\mathcal{C}_g $ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](3.5,2.45){$-7$} \uput[u](5.5,2.45){$0$}\uput[u](7.7,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}  \uput[u](3.5,2){$0$}\uput[u](4.5,2){$-$}\uput[u](5.5,2){$0$} \uput[u](6.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.45,0.51){$0$}\uput[u](3.5,1.5){$3\e^{-2}$}\uput[d](5.5,0.53){$-1$}\uput[ur](7.2,1.5){$+\infty $}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.4,1.6) \psline{->}(5.5,0.5)(7.3,1.6)\psline{->}(3.64,1.56)(5.3,0.49)
\end{pspicture}
\end{center}


Complétons le QCM fourni \textbf{en annexe A (à rendre avec la copie)}.

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse
n’enlève et n’ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cet exercice sera zéro.

Cocher pour chaque question posée, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.}

\begin{enumerate}[itemsep=1.5ex]
\item  La courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de $g$ passe par le point :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{A(-1 ;0)}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{B(-7 ;0)} & \hspace{-3.75mm}\ding{52}C $\left(-7;\dfrac{3}{\e^2}\right)$\\
\end{tabularx}
\item La courbe $\mathcal{C}_g$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\hspace{-3.75mm}\ding{52}\begin{minipage}[t]{3.5cm} admet une asymptote
horizontale\end{minipage}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\begin{minipage}[t]{3.5cm}
 admet une asymptote
verticale\end{minipage}}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\begin{minipage}[t]{3.75cm}
 n’admet ni asymptote
horizontale, ni asymptote
verticale\end{minipage}}\\
\end{tabularx}

\item L’équation $g(x) = 0$ admet dans $\R$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ une solution }& \hspace{-3.75mm}\ding{52}deux solutions & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{trois solutions}
\end{tabularx}
\item  La valeur de $g(3)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
 \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{positive} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{négative} & \hspace{-3.75mm}\ding{52}on ne peut pas savoir
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 10 points} 

\medskip
{\footnotesize
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $[-1~;~+\infty[$  et $f ^\prime $ sa fonction dérivée.

Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée en \textbf{annexe B (à rendre avec la copie)}.

L'axe des abscisses est asymptote à la courbe  $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

La droite D$_1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2 et la droite D$_2$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au
point d’abscisse $-\frac{1}{2}$.
}
\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

À l’aide du graphique et des données de l’énoncé, déterminons, sans justifier :
\begin{enumerate}
\item  L’image de $\frac{1}{2}$ par la fonction $f$ :

$f \left(\dfrac{1}{2}\right)=0$\hspace{2em} {\footnotesize \emph {Au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ la courbe coupe l'axe des abscisses}}
\item  Le signe de $f (x)$ suivant les valeurs de $x$ ;

\begin{tabular}{c|c p{1cm}c p{2cm}c}
$x$&$-1$&&\np{0.5}&&$+\infty$\\\hline
signe de $f(x)$&0&\centering $-$&0&\centering +&\\
\end{tabular}

\item L’ensemble des solutions de l’inéquation $f ^\prime(x) \geqslant 0$ : 

$\left[-\dfrac{1}{2}~;~2\right]$ \hspace{2em}{\footnotesize \emph{sur cet intervalle, la fonction est croissante}}
\item La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ :

 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=0$ \hspace{2em}{\footnotesize\emph{L'axe des abscisses est asymptote à la courbe  $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.}}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $[-1~;~+\infty[$ par : $f (x) = \left(2x^2 + x -1\right)\e^{-x} $.
\begin{enumerate}
\item Montrons que pour tout $x$ de $[-1~;~+\infty[$, $f ^\prime (x) =\left(-2x^2 + 3x + 2\right)\e^{-x} $.

$f=uv$ où $u(x)=2x^2+x-1$ et $v(x)=\e^{-x}$ 

par conséquent $f'=u'v+v'u$ \hspace{2em} $u'(x)=2\times (2x)+1=4x+1$ \hspace{2em} $v'(x)=-\e^{-x}$

Il en résulte :

$f'(x)=(4x+1)\e^{-x}-\e^{-x}(2x^2+x-1)=\e^{-x}\left(4x+1-2x^2-x+1\right)=\e^{-x}\left(-2x^2+3x+2\right)$.

Nous avons bien montré l'expression de $f'(x)$.
\item \begin{enumerate}
\item $f'(x)$ est du signe de $- 2x^2 + 3x + 2$ sur $[-1~;~+\infty[$, puisque pour tout $x$ appartenant à cet intervalle $\e^{-x}>0$. 
\item Étudions le signe de $- 2x^2 + 3x + 2$ sur $[-1~;~+\infty[$.

Cherchons d'abord les racines du trinôme $-2x^2+3x+2$ si elles existent. Pour ce faire, calculons $\Delta$. 

$\Delta= 3^2-4(-2)(2)=25$. $\Delta >0$ le trinôme admet deux racines :

$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

d'où $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times(-2)}=2$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{25}}{-4}=-\dfrac{1}{2}$.

Le trinôme peut alors s'écrire $-2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-2)$. Ces valeurs étant supérieures à $-1$, nous pouvons étudier le signe uniquement sur l'intervalle $[-1~;~+\infty[$

\begin{center}
\begin{tabular}{c|*{8}{p{0.5cm}}}
$x$&$-1$&&$-\np{0.5}$&&2&&$+\infty$\\\hline
signe de $-2$&&$-$&\vrule & $-$&\vrule &$-$&\\\hline
signe de $x+\np{0.5}$&&$-$&0&+&\vrule&+&\\\hline
signe de $x-2$&&$-$&\vrule &$-$&0&+&\\\hline
signe de $f'(x)$&&$-$&0&+&0&$-$&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item \'Etudions le sens de variation de $f$.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in [-1,-\np{0.5}[$ ou pour $x\in]2~;~+\infty[$, $f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in]-\np{0.5}~;~2[,\ f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Dressons le tableau de variation de $f$ sur $[-1~;~+\infty[$
 \begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-1$} \uput[u](3.15,2.45){$-\np{0.5}$} \uput[u](5.75,2.45){$2$} \uput[u](7.75,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$} \uput[u](3.15,1.97){$0$} \uput[u](4.55,1.97){$+$} \uput[u](6.75,1.97){$-$} \uput[u](2.05,1.97){$-$} \uput[u](5.75,1.97){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[ur](1,1.5){$0$}\uput[d](3.115,0.55){$-\sqrt{\e}$}\uput[u](5.75,1.5){$9\e^{-2}$}\uput[d](7.42,0.55){$0$}
\psline{->}(1.35,1.485)(3.1,0.5) \psline{->}(5.75,1.485)(7.3,0.5)\psline{->}(3.22,0.5)(5.65,1.485)
\end{pspicture}}
\end{center}

 $f \left(-\dfrac{1}{2}\right)=\left(2\times(-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-1\right)\e^{\frac{1}{2}}=-\sqrt{\e}$ et $f (2)=(2\times 2^2+2-1)\e^{-2}=9\e^{-2}$.
\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(-2x^2 - 5x - 4\right)\e^{-x} $ est une primitive de $f$ sur $[-1~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item   le domaine plan $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}_f$ , l’axe des
abscisses et les droites d’équation $x = \frac{1}{2}$ et $x = 4$ est hachuré sur le graphique de l’\textbf{annexe B}.
\item Calculons la valeur exacte de l'aire, en unités d’aire, du domaine $\mathcal{D}$.

Pour tout $x$ appartenant à $\left[\frac{1}{2}~;~4\right]$, $f(x)>0$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \frac{1}{2}$ et $x = 4$ est en unités  d'aire $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^4 f(x)\mathrm{d}x$.

$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^4 f(x)\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_{\frac{1}{2}}^4=F(4)-F\left(\frac{1}{2}\right)=\left( -2 \times 4^2-5\times 4- 4\right)\e^{-4}-\left(\left(-2\times \left(\frac{1}{2}\right)^2-5\times \frac{1}{2}-4\right)\e^{-\frac{1}{2}}\right)$

$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^4 f(x)\mathrm{d}x=7\e^{-\frac{1}{2}}-56\e^{-4}$.

\item Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l’aire, en unités d’aire, du domaine $\mathcal{D}$ est \np{3,22}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newgeometry{left=1cm,right=1cm}
\begin{center}
\textbf{Annexe B (à compléter et à rendre avec la copie).}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 :} }

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,arrowscale=1.5,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.9,-2.3)(7,2.7)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.7,-2.4)(7.3,2.5)
 \multido{\n=-1.5+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-2.3)(\n,2.505)}
\multido{\n=-2+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1.8,\n)(7.2,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=800]{-1}{7.2}{ 2.71828 x  neg exp  2 x 2 exp  mul x add 1 sub mul}
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt,plotpoints=800]{-1.7}{7.2}{2.71828 2 neg exp 9 mul}
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt,plotpoints=800]{-1.7}{7.2}{-1.64872127}
\uput[ur](4.5,1.218){D$_1$}\uput[ur](4.5,0.5){$\mathcal{C}_f$}\uput[ur](4.5,-1.648){D$_2$}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=violet]{
%\psline[linewidth=0.001pt](0,0)(0,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.5}{4}{2.71828 x  neg exp  2 x 2 exp  mul x add 1 sub mul}
\psline (4,0.6410474)(4,0)
}
\end{pspicture}
\end{document}