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%Tapuscrit : Sandra Forner-Fedossof
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{Novembre 2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STAV Nouvelle Calédonie novembre 2018~\decofourright}}


\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

L'annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Sur un champ d'expérimentation, des techniciens étudient la croissance de plants de maïs semés en avril.

Ils effectuent des relevés de la hauteur de ces plants à partir du 1\up{er} mai.

Les hauteurs moyennes obtenues, au centième près, sont présentées dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}c|*{5}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Date &1\up{er} mai &1\up{er} juin &1\up{er} juillet &1\up{er} août &\small 1\up{er} sept.\\ \hline
 Hauteur (en mètres) &0,49&& 2,57& 3,08& 3,22\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On admet que la modélisation de la hauteur moyenne, exprimée en mètres, d'un plant de maïs en fonction du temps, est donnée par la fonction $h$ définie sur [0~;~130] par :

\[h(t) = \dfrac{3,26}{1 + 5,7\text{e}^{-0,05t}}\]

où $t$ est le temps exprimé en jours à partir du premier relevé, $t = 0$, le 1\ier{} mai.

On rappelle que les mois de juin et septembre comportent 30 jours, mai, juillet et août en comportent 31.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, au centième près, la hauteur moyenne d'un plant de maïs le 1\up{er} juin.
\item  En utilisant un logiciel de calcul formel,  on obtient pour la dérivée, de $h$ : 

\[h'(t) = \dfrac{\np{0,9291}\text{e}^{ -0,05t}}{\left(1 + 5,7\text{e}^{-0,05t}\right)^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item En déduire que la fonction $h$ est croissante sur [0~;~130].
		\item Pouvait-on s'attendre à ce résultat, au vu de ce que modélise la fonction $h$ ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre minimal de jours nécessaires pour que la hauteur d'un plant de maïs soit supérieure à $2$ mètres. Expliquer votre démarche.
Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative sera prise en compte dans l'évaluation.
	
On pourra déterminer au choix la solution par le calcul, ou en utilisant la calculatrice.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Le blé tendre est la première céréale produite en France.

Lorsqu'il est d'assez bonne qualité pour être destiné à la fabrication du pain, il est dit « panifiable ».

En France, 58\,\% de la production de blé tendre est panifiable. Ses autres utilisations sont pour l'alimentation animale, mais aussi pour des productions industrielles (le papier, les cosmétiques, les produits pharmaceutiques, la production de bioéthanol).
Un étudiant en stage s'intéresse aux remorques de blé tendre livrées dans une coopérative.

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On admet que la proportion $p$ de remorques remplies de blé panifiable attendues pour une coopérative est $0,58$.

L'étudiant choisit au hasard $40$ remorques remplies. On considère que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise. Il constate que parmi ces remorques, $19$ contiennent du blé panifiable.

\textbf{On rappelle que} :

\emph{L'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est} :

\[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 -  p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 -  p)}{n}}\right].\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de remorques de blé panifiable sur un échantillon de taille $40$ (les bornes seront arrondies à $10^{-2}$ près).
\item  Ce résultat nous amène-t-il à considérer que la proportion de remorques de blé panifiable de cette coopérative est bien de $0,58$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On considère que chaque remorque a la probabilité 0,58 de contenir du blé panifiable.
L'étudiant choisit au hasard 40 remorques. On considère que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise de 40 remorques.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de remorques contenant du blé panifiable parmi les 40.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ est distribuée suivant la loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p = 0,58$.
\item  Déterminer la probabilité (les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près) des évènements suivants:
	\begin{enumerate}
		\item Exactement $19$ remorques contiennent du blé panifiable.
		\item Au plus $19$ remorques contiennent du blé panifiable.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
		\item Quelle interprétation l'étudiant peut-il donner à cette espérance?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.

\emph{Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}

\textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On estime qu'en Nouvelle-Calédonie, la production de fruits et légumes augmente de 5\,\% par an.

En 2014, la production était de \np{16714} tonnes sur plus de \np{1100} hectares.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la production, arrondie à la tonne, de fruits et légumes en 2015.
\item  Soit $n$ un nombre entier naturel. On note $u_n$ la production de fruits et légumes en Nouvelle-
Calédonie pendant l'année $2014 + n$. Ainsi, $u_0 = \np{16714}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,05$.
		\item  Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item  Donner une estimation, arrondie à la tonne, de la production en 2018.
 	\end{enumerate}
\item  L'algorithme \textbf{en annexe A (à rendre avec la copie)} permet de déterminer l'année à partir de laquelle la production de fruits et légumes en Nouvelle-Calédonie aura doublé par rapport à 2014.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'algorithme en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
		\item Déterminer, par la méthode de votre choix, l'année à partir de laquelle la production aura doublé par rapport à 2014. Expliquer votre démarche.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}
\end{center}

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

Cocher, pour chaque question posée, la réponse qui convient.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire distribuée suivant la loi normale de paramètres $\mu = 40$ et $\sigma = 6$.

$P(X < 28)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box~~0,05$&$\Box~~ 0,95$&$\Box~~P(X < 52)$&$\Box~~P(X > 52)$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le plus petit entier $n$ possible tel que : $2,08^n \geqslant 500$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box~~6$&$\Box~~7$&$\Box~~8$&$\Box~~9$
\end{tabularx}
\medskip

\item  $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants d'une même expérience aléatoire.
On a $P(A) = 0,6$ et $P(A \cap B) = 0,3$. Alors, la valeur de $P(B)$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box~~~$\parbox{2.5cm}{impossible \\à déterminer} &$\Box~~0,3$&$\Box~~0,5$&$\Box~~0,9$
\end{tabularx}
\medskip
\item  On considère l'algorithme ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
Saisir $x$\\
Si $x > 0$\\
Alors $x$ prend la valeur $\ln (x)$\\
Sinon $x$ prend la valeur $2 - x$\\
Fin Si\\
Afficher $x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En exécutant cet algorithme, le résultat affiché est $1$.

Quel nombre $x$ a été saisi initialement par l'utilisateur ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\Box~~0$&$\Box~~1$&$\Box~~$e&$\Box~~3$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{EXERCICE 4}

\medskip

Question 3

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$u$ prend pour valeur \np{16714}\\
$n$ prend pour valeur $0$\\
Tant que $u < \ldots$.\\
\hspace{1.5cm}$n$ prend la valeur $n+ 1$\\
\hspace{1.5cm}$u$ prend la valeur \ldots\\
Fin tant que\\
Afficher $2014 + n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}