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%Original aimablement fourni par Laurent Berthelot Proviseur-adjoint lycée agricole de Nouvelle-Calédonie B. P. 5 98 825 Pouembout
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2012}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\novembre 2012 Nouvelle-Calédonie}}

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie} 

\bigskip
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 4,5 points}

\medskip

Caroline fait partie d'un groupe de $8$ personnes suivant une formation à raison de $5$~séances par semaine.
 
À chaque séance, le formateur interroge au hasard l'un des participants indépendamment de l'interrogation des séances précédentes.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité que Caroline soit interrogée lors d'une séance est de 0,125. 
\item On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de fois où Caroline est interrogée sur une semaine. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la loi de probabilité de $X$ ? En préciser les paramètres. 

Justifier votre réponse. 

\emph{Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}
 
		\item Calculer la probabilité que Caroline soit interrogée exactement 2 fois dans la semaine. 
		\item Calculer $p(X \geqslant 2)$ et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 4,5 points}

\medskip

On a interrogé un groupe de personnes (adultes et enfants) suite à la projection du film \og Nature \fg. On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $3/10$ des personnes interrogées sont des enfants ; 
\item[$\bullet~~$] $5/8$ des adultes ont apprécié le film ; 
\item[$\bullet~~$] $1/4$ des enfants n'ont pas apprécié le film.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard une personne du groupe. On note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement : \og La personne interrogée est un adulte \fg{} ; 
\item[ ] $M$ l'évènement : \og La personne interrogée a apprécié le film \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
Tous les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données à l'aide d'un arbre de probabilités en indiquant les probabilités sur chaque branche. 
\item Calculer $p(A \cap M)$ et interpréter le résultat. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og La personne interrogée a apprécié le film \fg. 
\item La personne interrogée a apprécié le film ; quelle est la probabilité que cette personne soit un adulte ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 11 points}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie) est la représentation graphique, dans un repère orthogonal \Oij, d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
 
La droite $\left(T_{\text{A}}\right)$, parallèle à l'axe des abscisses, est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $- \dfrac{1}{2}$.
 
La droite $\left(T_{\text{B}}\right)$ est tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point B d'abscisse $0$. 

La droite $(D)$, d'équation $y = 2$, est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$, en $+ \infty$.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Par lecture graphique et en expliquant la démarche adoptée, déterminer : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0)$ et $f'(0)$. 
\item L'équation réduite de $\left(T_{\text{B}}\right)$. 
\item La limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item La ou les solutions de l'équation $f(x) = 0$ (avec la précision permise par le graphique). 
\item La ou les solutions de l'équation $f'(x) = 0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On admet que la fonction numérique $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = 2 - (2x + 3)\text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
		
		\[F(x) = (2x + 5)\text{e}^{- x} + 2x\]
		
est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Donner une autre primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Justifier graphiquement que pour tout $x$ de l'intervalle [2~;~3] on a $f(x) \geqslant 0$. 
		\item Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie à $10^{- 2}$ près, de l'aire $\mathcal{A}$ (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE A}} \textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.3pt,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.95)(7,4)
\uput[d](6.9,0){$x$}\uput[l](0,3.9){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.7}{7}{2 2 x mul 3 add 2.71828 x exp div sub}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,-1.297)(7,-1.297) \uput[d](6.25,-1.297){$\left(T_{\text{A}}\right)$}
\psplot{-2}{5}{x 1 sub}
\uput[ul](4.5,3.5){$\left(T_{\text{B}}\right)$}
\psdots(-0.5,-1.297)(0,-1)
\uput[dl](-0.5,-1.297){A}\uput[r](0,-1){B}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,2)(7,2)\uput[u](-2.75,2){$(D)$}
\uput[d](3.25,1.6){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}