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%Original aimablement fourni par Laurent Berthelot Proviseur-adjoint lycée agricole de Nouvelle-Calédonie B. P. 5 98 825 Pouembout
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie\hspace{1em}Correction}}
\rfoot{\small{novembre 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant~\decofourright\\novembre 2012 Nouvelle-Calédonie\hspace{1em}Correction}}

%\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie} 

\medskip
  
\end{center}

%\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 4,5 points}

\medskip
{\footnotesize
Caroline fait partie d'un groupe de $8$ personnes suivant une formation à raison de $5$ ~séances par semaine.
 
À chaque séance, le formateur interroge au hasard l'un des participants indépendamment de l'interrogation des séances précédentes.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que Caroline soit interrogée lors d'une séance est de 0,125 car le formateur interroge au hasard, d'où l'équiprobabilité, une personne sur huit ; $\dfrac{1}{8}=\np{0.125}$. 
\item On considère la variable aléatoire $X$ égale au nombre de fois où Caroline est interrogée sur une semaine. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la nature de la loi de probabilité de $X$ et précisons ses paramètres. 
La loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 

Le nombre $n$ de prélèvements est 5 et la probabilité que Caroline soit interrogée est \np{0.125}.

Nous avons donc une loi binomiale $X\hookrightarrow \mathscr{B} (5;\ \np{0.125})$ par conséquent $p(X=k)=\binom{5}{k}(\np{0.125})^k(\np{0.875})^{5-k}$.
 		\item Calculons la probabilité que Caroline soit interrogée exactement 2 fois dans la semaine. Calculons  $p(X=2)$.
		
		$p(X=2)=\dbinom{5}{2}\np{0.125}^2\times \np{0.875}^3\approx\np{0.1047}$ à $10^{-4}$ près.
		\item Calculons $p(X \geqslant 2)$ %et interpréter ce résultat.		
		\[p(X \geqslant 2)=1-\left(p(X=0)+p(X=1)\right)=1-\left(\np{0.875}^5+5\times \np{0.125}\times \np{0.875}^4\right)=1-(\np{0.5129}+\np{0.3664})\approx \np{0.1207}.\]
		Ce résultat est la probabilité que  Caroline soit interrogée au moins deux fois dans la semaine. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,35cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 4,5 points}

\medskip
{\footnotesize
On a interrogé un groupe de personnes (adultes et enfants) suite à la projection du film \og Nature \fg. On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $3/10$ des personnes interrogées sont des enfants ; 
\item[$\bullet~~$] $5/8$ des adultes ont apprécié le film ; 
\item[$\bullet~~$] $1/4$ des enfants n'ont pas apprécié le film.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard une personne du groupe. On note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'événement : \og La personne interrogée est un adulte \fg{} ; 
\item[ ] $M$ l'événement : \og La personne interrogée a apprécié le film \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
Tous les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

\medskip
 }
\begin{enumerate}
\item Construisons l'arbre de probabilité  décrivant la situation en indiquant les probabilités sur chaque branche. 

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac{7}{10}$}}
	{\TR{$M$}\taput{$\frac{5}{8}$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\frac{3}{8}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\frac{3}{10}$}}
	{\TR{$M$}\taput{$\frac{3}{4}$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	}
}
\end{center}
\item Calculons $p(A \cap M)$.

$p(A\cap M)=p(A)\times p_{A}(M)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{5}{8}=\dfrac{7}{16}$. Ce résultat est la probabilité que la personne interrogée soit un adulte ayant apprécié le film.
 
\item Calculons la probabilité de l'événement : \og La personne interrogée a apprécié le film \fg c'est-à-dire $p(M)$. 

$p(M)=p(A\cap M)+p(\overline{A}\cap M)=p(A)\times p_{A}(M)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(M)=\dfrac{7}{16}+\dfrac{3}{10}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{16}+\dfrac{9}{40}=\dfrac{53}{80}$.

\item La personne interrogée a apprécié le film ; la probabilité que cette personne soit un adulte est notée $p_{M}(A)$. 

$p_{M}(A)=\dfrac{p(A \cap M)}{p(M)}=\dfrac{\frac{7}{16}}{\frac{53}{80}}= \dfrac{7}{16}\times\dfrac{80}{53}=\dfrac{35}{53}$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,35cm}

\textbf{Exercice 3  \hfill 11 points}

\medskip
 {\footnotesize
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ donnée en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie) est la représentation graphique, dans un repère orthogonal \Oij, d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
 
La droite $\left(T_{\text{A}}\right)$, parallèle à l'axe des abscisses, est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $- \dfrac{1}{2}$.
 
La droite $\left(T_{\text{B}}\right)$ est tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point B d'abscisse $0$. 

La droite $(D)$, d'équation $y = 2$, est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$, en $+ \infty$.

\medskip
 }
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Par lecture graphique et en expliquant la démarche adoptée, : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{description}
\item []Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 0 c'est-à-dire l'ordonnée de B, $f(0)=-1$ ;
 \item[] nous lisons le coefficient directeur  de la droite $\left(T_{\text{B}}\right)$ $f'(0)=1$. 
 \end{description}
\item L'équation réduite de $\left(T_{\text{B}}\right)$ est $y=x-1$. L'équation d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées est \mbox{$y=mx+p$} ; nous avons déterminé aux questions précédentes les valeurs de $m$ et de $p$.  
\item Déterminons la limite de $f$ en $+ \infty$. La droite $(D)$, d'équation $y = 2$, est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$, en $+ \infty$ donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=~ 2$. 
\item Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. Nous lisons avec la précision permise par le graphique -\np{1.2} ou \np{0.9}. 
\item La  solution de l'équation $f'(x) = 0$ est l'abscisse du point en lequel la tangente est parallèle à l'axe des abscisses c'est-à-dire $-\dfrac{1}{2}$. 
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 {\footnotesize
On admet que la fonction numérique $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par : $f(x) = 2 - (2x + 3)\text{e}^{- x}$.
}
\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $f$ en $- \infty$. 

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}2-\lim_{x \to -\infty}(2x+3)\e^{-x}=2+\infty= +\infty$ 
car $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}-(2x+3)=+\infty \ \text{et }\  \lim_{x \to -\infty}\e^{-x}=+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (2x + 5)\text{e}^{- x} + 2x$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
		
		Pour ce faire, montrons que pour tout $x\in \R,\ F'(x)=f(x)$. 

$F'(x)=2\e^{-x}+(2x+5)\big((-1)\e^{-x}\big)+2=2+\left(2-(2x+5)\right)\e^{-x}=2-(2x+3)\e^{-x}=f(x)$.
		
		\item Donnons une autre primitive de $f$ sur $\R$. Les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, nous pouvons prendre par exemple comme primitive de $f$, la fonction $G$ définie sur $\R$ par 

$G(x)=(2x+5)\e^{-x}+2x+1$.
		\item  Graphiquement nous pouvons constater que sur l'intervalle [2~;~3], la courbe $\mathcal{C}_f$ est située dans le demi-plan des $y$ positifs. Il en résulte que pour tout $x$ de l'intervalle [2~;~3] nous avons $f(x) \geqslant 0$. 
		\item Calculons la valeur exacte, puis la valeur arrondie à $10^{- 2}$ près, de l'aire $\mathcal{A}$ (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 2$ et $x = 3$.
		
		Pour tout $x$ appartenant à [2~;~3] on a $f(x) \geqslant 0$, l'aire $\mathcal{A}$ est, en unités d'aire,  $\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)\mathrm{d}x$.
		
	$\displaystyle \int_{2}^{3}f(x)\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_{2}^{3}=F(3)-F(2)=(2\times 3 + 5)\e^{- 3} + 2\times 3 -\left((2\times 2 + 5)\e^{- 2} + 2\times 2\right)$

$\mathcal{A}=11\e^{-3}-9\e^{-2}+2=(2\e^{3}-9\e+11)\e^{-3}\approx \np{1.33}$.

L'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=2$ et $x=3$ vaut à $10^{-2}$ près \np{1.33} unité d'aire.	
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE A}} \textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.95)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.3pt,subgridcolor=orange]
\uput[d](6.9,0){$x$}\uput[l](0,3.9){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.7}{7}{2 2 x mul 3 add 2.71828 x exp div sub}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,-1.297)(7,-1.297) \uput[d](6.25,-1.297){$\left(T_{\text{A}}\right)$}
\psplot{-2}{5}{x 1 sub}
\uput[ul](4.5,3.5){$\left(T_{\text{B}}\right)$}
\psdots(-0.5,-1.297)(0,-1)\psdots[dotstyle=BoldCircle](-1.1983,0)(0.857677,0)
\uput[dl](-0.5,-1.297){A}\uput[r](0,-1){B}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,2)(7,2)\uput[u](-2.75,2){$(D)$}
\uput[d](6.25,1.96){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
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\psline(3,1.5519164)(3,0)
}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}