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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles--Guyane--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de l'Agronomie~\decofourright\\ et du Vivant \\Métropole septembre 2009}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une ferme du Cotentin, on commercialise trois types de lait sous forme de briques de 1~litre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\blacklozenge$] 15\,\% des briques contiennent du lait entier.
\item[$\blacklozenge$] 60\,\% des briques contiennent du lait 1/2 écrémé.
\item[$\blacklozenge$] 25\,\% des briques contiennent du lait écrémé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le lait peut être vitaminé ou non vitaminé :


\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\blacklozenge$] $\dfrac{1}{3}$ des briques de lait entier sont de qualité vitaminée.
\item[$\blacklozenge$] $\dfrac{5}{12}$ des briques de lait 1/2 écrémé sont de qualité vitaminée.
\item[$\blacklozenge$] $\dfrac{1}{5}$ des briques de lait écrémé sont de qualité vitaminée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit une brique au hasard. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A \og La brique contient du lait entier \fg{}
\item[] B \og La brique contient du lait 1/2 écrémé \fg{}
\item[] C \og La brique contient du lait écrémé \fg{}
\item[] V \og La brique contient du lait vitaminé \fg{}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Décrire la situation ‡ l'aide d'un arbre de probabilités en indiquant les probabilités sur chaque branche.
\item  Calculer la probabilité des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item  \og La brique contient du lait écrémé et vitaminé \fg{}.
		\item  \og La brique contient du lait vitaminé \fg{}.
	\end{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité, arrondie ‡ $10^{-4}$ près que le lait soit écrémé sachant qu'il est vitaminé ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur un lot de $20$~briques de lait, 5 contiennent du lait écrémé.
On choisit au hasard et simultanément 3 briques de ce lot.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre total de choix possibles.
Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.
\item  Soit X la variable aléatoire égale au nombre de briques de lait écrémé parmi les 3 choisies.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de n'avoir aucune brique de lait écrémé.
		\item  Calculer la probabilité d'avoir exactement une brique de lait écrémé.
 	\end{enumerate}
\item  Compléter la loi de probabilité de X dans le tableau donné en annexe.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ donnée \textbf{dans le document} est celle d'une fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$.

La droite (T) est tangente ‡ la courbe $(\mathcal{C})$ au point A d'abscisse 1.

L'axe des ordonnées est asymptote ‡ la courbe $(\mathcal{C})$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer par lecture graphique, en expliquant votre démarche:
	\begin{enumerate}
		\item  $f(1)$ et $f^{\prime}(1)$.
		\item  La limite de $f$ en $0$.
		\item  Le signe de $f(x)$ sur $[2~;~+ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x - \dfrac{1}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$.
		\item  Retrouver par le calcul les résultats de la question 1. a.
		\item  Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ et donner le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = (x - 1)\ln x - x$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $= \displaystyle\int_{\text{e}}^5 f(x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire la valeur arrondie ‡ $10^{-2}$ près de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine situé
entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = \text{e}$ et $x = 5$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 VRAI--FAUX \hfill 4 points}

\medskip

$g$ est la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = 2x\text{e}^{-x}.\]

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est \textsc{VRAIE} ou \textsc{FAUSSE}. Justifier vos réponses.

\textbf{Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point.}

\medskip

Proposition 1 : $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\medskip

Proposition 2 : La courbe représentative de la fonction $g$ passe par le point de coordonnées $\left(-1~;~\dfrac{2}{\text{e}}\right)$.

\medskip

Proposition 3 : $g(\ln 2) = \ln 2$.

\medskip

Proposition 4 : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = - \infty$.

\vspace{1cm}

\dotfill

\begin{center}
\textbf{ANNEXE : ‡ compléter et ‡ rendre avec la copie}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$						&0	&1	&2	&3  \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$P\left(X = x_{i}\right)$	&	&	&	&$\dfrac{1}{114}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}

\begin{pspicture}(-1,-13)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-13)(7,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,subgriddiv=1,griddots=8](-1,-13)(7,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.094}{6}{x ln 1 x div sub}
\psplot{-0.5}{3}{2 x mul 3 sub}
\uput[u](5.5,1.5){$\mathcal{C}$} \uput[ul](2.5,2){(T)}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}