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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P.  M. E. P.}}}
\begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Sciences et Technologies de
 l'Agronomie~\decofourright\\ et de l'Environnement \\Métropole session 2005 }}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

On dispose d'une roue parfaitement équilibrée comportant 12 secteurs de même taille, numérotés de 1 à 12. Les secteurs 3 et 9 sont verts et les autres jaunes.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

L'épreuve consiste à faire tourner la roue :

Si elle s'arrête sur un secteur vert, on tire un billet de loterie dans une urne A. Sinon on tire un billet de loterie dans une urne B.

Dans l'urne A, un billet sur 4 est gagnant. Dans l'urne B, un billet sur 10 est gagnant.

On considère les évènements suivants :

A : \og on tire le billet dans l'urne A \fg{} ;
 
G : \og le billet tiré est gagnant \fg{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $p(\text{A}) = \dfrac{1}{6}$.
		\item Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des probabilités sur
chaque branche.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $p(\text{G} \cap  \text{A})$. \emph{On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.}
		\item Montrer que $p(\text{G}) = \dfrac{1}{8}$.
 	\end{enumerate}
\item  Sachant que le billet tiré est gagnant, déterminer la probabilité qu'il provienne de l'urne A. \emph{On donnera le
résultat sous forme d'une fraction irréductible.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

On répète 10 fois, de façon indépendante, l'épreuve décrite dans la partie A.

On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de billets gagnants obtenus en $10$~épreuves.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la loi de probabilité de $X$ est binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{1}{8}$.
\item  Calculer $p(X = 5)$ puis $p(X \geqslant  1)$. Les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par :

\[ f(x) = x^2 + 2\ln (x + 2)\]

 et $\left(\text{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un
repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
		\item Calculer la limite de $f$ en $-2$ et interpréter graphiquement le résultat.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \dfrac{2x^2 + 4x + 2}{x + 2}$.

\item  Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]- 2~;~+ \infty[$.
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
	
\emph{Les valeurs numériques de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-2}$ près.}
	
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-1,8$	&$-1$	&0	&1	&2	&2,5\\ \hline
$f(x)$	&		&		&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Construire la courbe $\left(\text{C}_{f}\right)$, sa tangente au point d'abscisse $-1$ et son asymptote dans le repère \Oij.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

\textbf{Résolution dans l'intervalle \boldmath $I = \left[- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ \unboldmath de l'équation :} \boldmath$\cos x = x$.\unboldmath

\medskip

Vous trouverez sur le document joint, dans un repère orthonormal, les représentations graphiques $\left(\mathcal{C}_{u}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{v}\right)$ des fonctions $u$ et $v$ respectivement définies sur $I$ par : 

\[u(x) = \cos x\quad  \text{et} \quad  v(x) = x.\]

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, et en expliquant la démarche adoptée, résoudre sur l'intervalle $I$ l'équation :
$u(x) = v(x)$.
\item  On considère la fonction $h$ définie sur $I$ par : $h(x) = x - \cos x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $h'(x)$.
		\item  Justifier que pour tout $x$ de l'intervalle $I = \left[- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right],~ h'(x)$ est strictement positif.
		\item  En déduire le tableau de variations de $h$ sur $I$.
		\item  Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $I$.
		\item  Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\item  Conclure en donnant un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la solution de l'équation $\cos x = x$ dans l'intervalle $I$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}\uput[dr](0,0){O}
\uput[ur](1.5708,0){$\frac{\pi}{2}$} \uput[ul](-1.5708,0){$-\frac{\pi}{2}$}
\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1}  
\psline(-1.5708,-1.5708)(1.5708,1.5708)
\psplot[plotstyle=curve,linecolor=blue]{-1.5708}{1.5708}{x 180 mul 3.14159 div cos}
\uput[ul](-1,0.5){$\left(\mathcal{C}_{u}\right)$}
\psline[linestyle=dashed](-1.5708,0)(-1.5708,-1.5708)
\psline[linestyle=dashed](1.5708,0)(1.5708,1.5708)
\psline[linestyle=dashed](0.74,0)(0.74,0.74)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}